Динамика файла - File dynamics

Период, термин файловая динамика - это движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химия, физика, математика и связанные области, файловая динамика (иногда называют, динамика одного файла) является диффузией N (N → ∞) одинаковые Броуновские твердые сферы в квазиодномерном канале длиной L (L → ∞), так что сферы не прыгают одна на другую, а средняя плотность частиц приблизительно фиксирована. Наиболее известные статистические свойства этого процесса заключаются в том, что среднеквадратичное смещение (MSD) частицы в файле следует, ${ Displaystyle mathrm {MSD} приблизительно т ^ { гидроразрыва {1} {2}}}$, и это функция плотности вероятности (PDF) является Гауссовский в позиции с дисперсией MSD.^[1][2][3]

Результаты в файлах, которые обобщают основной файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, но затухает по степенному закону с показателем а при удалении от начала координат частица в начале координат имеет MSD это масштабируется как, ${ displaystyle MSD приблизительно t ^ { frac {1 + a} {2}}}$, с гауссовой PDF.^[4]
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределены по степенному закону с показателем γ (около начала координат), MSD следует, ${ displaystyle MSD приблизительно t ^ { frac {1- gamma} {2 / (1 + a) - gamma}}}$, с гауссовой PDF.^[5]
• В аномальных файлах, которые обновляются, а именно, когда все частицы пытаются совершить прыжок вместе, но время прыжка берется из распределения, которое затухает по степенному закону с показателем степени, −1 -α, MSD масштабируется как MSD соответствующего нормального файла в степени α.^[6]
• В аномальных файлах независимых частиц MSD очень медленный и масштабируется как, ${ Displaystyle MSD приблизительно журнал ^ {2} (t)}$. Что еще более интересно, частицы образуют кластеры в таких файлах, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от мощности аномалии α: следует процентное содержание частиц в кластерах ξ, ${ displaystyle xi приблизительно { sqrt {1- alpha ^ {3}}}}$.^[7]
• Другие обобщения включают: когда частицы могут обходить друг друга с постоянной вероятностью при встрече, наблюдается усиленная диффузия.^[8] Когда частицы взаимодействуют с каналом, наблюдается более медленная диффузия.^[9] Файлы, встроенные в двухмерный формат, показывают аналогичные характеристики файлов в одном измерении.^[7]

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели представляют реальность гораздо точнее, чем базовый файл. Действительно, файловая динамика используется при моделировании множества микроскопических процессов:^{[10][11][12][13][14][15][16]} диффузия в биологических и синтетических порах и пористом материале, диффузия вдоль одномерных объектов, таких как биологические дороги, динамика мономера в полимере и т. д.

Математическая формулировка

Простые файлы

В простых броуновских файлах ${ Displaystyle P ( mathbf {x}, т mid mathbf {x_ {0}})}$, сустав функция плотности вероятности (PDF) для всех частиц в файле подчиняется нормальному уравнению диффузии:

${ displaystyle partial _ {t} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) = D Sigma _ {j = -M} ^ {M} partial _ {x_ { j}} ^ {2} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}).}$

(1)

В ${ Displaystyle P ( mathbf {x}, т mid mathbf {x_ {0}})}$, ${ displaystyle mathbf {x} = {x _ {- M}, x _ {- M + 1}, ldots, x_ {M} }}$ - это набор положений частиц в момент времени ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ - набор начальных положений частиц в начальный момент времени ${ displaystyle t_ {0}}$ (установить на ноль). Уравнение (1) решается с соответствующими граничными условиями, которые отражают твердый сферический характер файла:

${ displaystyle { big (} D partial _ {x_ {j}} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) { big)} _ {x_ {j} = x_ {j + 1}} = { big (} D partial _ {x_ {j + 1}} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) { big)} _ {x_ {j + 1} = x_ {j}}; qquad j = -M, ldots, M-1,}$

(2)

и с соответствующим начальным условием:

${ displaystyle P ( mathbf {x}, t rightarrow infty mid x_ {0}) = Pi _ {j = -M} ^ {M} delta (x_ {j} -x_ {0, j }).}$

(3)

В простом файле начальная плотность фиксирована, а именно:${ displaystyle x_ {0, j} = j Delta}$, куда ${ displaystyle Delta}$ - параметр, представляющий микроскопическую длину. Координаты PDF-файлов должны соответствовать порядку: ${ Displaystyle х _ {- M} leq x _ {- M + 1} leq cdots leq x_ {M}}$.

Гетерогенные файлы

В таких файлах уравнение движения следует:

${ Displaystyle partial _ {t} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) = Sigma _ {j = -M} ^ {M} D_ {j} partial _ {x_ {j}} ^ {2} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}).}$

(4)

с граничными условиями:

${ displaystyle { big (} D_ {j} partial _ {x_ {j}} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) { big)} _ {x_ { j} = x_ {j + 1}} = { big (} D_ {j + 1} partial _ {x_ {j + 1}} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0 }}) { big)} _ {x_ {j + 1} = x_ {j}}; qquad j = -M, ldots, M-1,}$

(5)

и с начальным условием, уравнение. (3), где начальное положение частиц подчиняется:

${ Displaystyle x0, j = знак (j) Delta mid j mid ^ {1 / (1-a)}; qquad 0 leq { mathit {a}} leq 1.}$

(6)

Коэффициенты распространения файла берутся независимо от PDF,

${ Displaystyle W (D) = { гидроразрыва {1- gamma} { Lambda}} (D / Lambda) ^ {- gamma}, qquad 0 leq gamma leq 1,}$

(7)

где Λ имеет конечное значение, которое представляет собой самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

Обновление, аномальные, разнородные файлы

В файлах с аномальным обновлением случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; см. Марковский процесс с непрерывным временем для получения дополнительной информации) формы: ${ displaystyle psi _ { alpha} (t) sim k (kt) ^ {- 1- alpha}, 0 < alpha leq 1}$, куда k является параметром. Затем все частицы в файле остаются неподвижными в течение этого случайного периода, после чего все частицы пытаются прыгнуть в соответствии с правилами файла. Эта процедура повторяется снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в файле с аномальным восстановлением получается при свертывании уравнения движения для броуновского файла с ядром ${ Displaystyle к _ { альфа} (т)}$:

${ Displaystyle partial _ {t} P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x_ {0}}) = Sigma _ {j = -M} ^ {M} D_ {j} partial _ {x_ {j}} ^ {2} int _ {0} ^ {t} k _ { alpha} (tu) P ( mathbf {x}, u mid mathbf {x_ {0}}) , du.}$

(8)

Здесь ядро ${ Displaystyle к _ { альфа} (т)}$и WT-PDF ${ Displaystyle psi _ { alpha} (т)}$ связаны в пространстве Лапласа, ${ displaystyle { bar {k}} _ { alpha} (s) = { frac {s { bar { psi}} _ { alpha} (s)} {1 - { bar { psi) }} _ { alpha} (s)}}}$. (Преобразование Лапласа функции ${ displaystyle f (t)}$ читает, ${ displaystyle { bar {f}} (s) = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} , dt}$.) Отражающие граничные условия сопровождались уравнением. (8) получаются при свертке граничных условий броуновского файла с ядром ${ Displaystyle к _ { альфа} (т)}$, где здесь и в броуновском файле начальные условия идентичны.

Аномальные файлы с независимыми частицами

Когда каждой частице в аномальном файле назначается собственная форма отображения времени перехода ${ Displaystyle psi _ { alpha} (т)}$ (${ Displaystyle psi _ { alpha} (т)}$ одинаков для всех частиц) аномальный файл не является файлом обновления. Базовый динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем прыжка в файле, скажем, ${ displaystyle t_ {i}}$ для частицы я, пытается совершить прыжок. Затем время ожидания для всех остальных частиц корректируется: мы вычитаем ${ displaystyle t_ {i}}$ от каждого из них. Наконец, для частицы отображается новое время ожидания. я. Наиболее существенное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются обновлением, заключается в том, что, когда каждая частица имеет свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление работы системы (доказано в основной текст). Уравнение движения PDF в аномальных файлах независимых частиц гласит:

${ displaystyle partial _ {t_ {i}} P ( mathbf {x}, mathbf {t} mid mathbf {x_ {0}}) = D_ {i} partial _ {x_ {i}} ^ {2} int _ {0} ^ {t_ {i}} k _ { alpha} (t_ {i} -u_ {i}) P ( mathbf {x}, mathbf {t} ^ {'( i)}, u_ {i} mid mathbf {x_ {0}}) , du_ {i}; qquad -M leq i leq M.}$

(9)

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF ${ Displaystyle P ( mathbf {x}, mathbf {t} mid mathbf {x_ {0}})}$ вектор времен: ${ Displaystyle mathbf {т} = {т_ {я} } _ {я = -М} ^ {М}}$, и ${ displaystyle mathbf {t} ^ {'(i)} = {t_ {c} } _ {c = -M, c neq i} ^ {M}}$. Сложение всех координат и выполнение интегрирования сначала в порядке меньшего времени (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных файлах независимых частиц (усреднение уравнения по всем поэтому требуется дальнейшая конфигурация). Действительно, даже уравнение. (9) очень сложно, а усреднение еще больше усложняет ситуацию.

Математический анализ

Простые файлы

Решение уравнений (1)-(2) представляет собой полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы,^[4]

${ Displaystyle P ( mathbf {x}, mid mathbf {x_ {0}}) = { frac {1} {c_ {N}}} Sigma _ { {p }} e ^ {- 1 / 4Dt Sigma _ {j = -M} ^ {M} (x_ {j} -x_ {0, j} (p)) ^ {2}}.}$

(10)

Здесь индекс ${ displaystyle p}$ идет по всем перестановкам начальных координат и содержит ${ displaystyle N!}$ перестановки. Из уравнения. (10), PDF-файл помеченной частицы в файле, ${ Displaystyle Р (г, т середина г_ {0})}$, рассчитывается ^[4]

${ displaystyle P (r, t mid r_ {0}) sim { frac {1} {c_ {N}}} e ^ {- R_ {d} ^ {2} / { sqrt {2 tau }}},}$

(11)

В формуле. (11), ${ Displaystyle R_ {d} = r_ {d} Delta}$, ${ displaystyle r_ {d} = r-r_ {0}}$ (${ displaystyle r_ {0}}$ - начальное состояние помеченной частицы), а ${ displaystyle tau = Delta ^ {- 2} Dt}$. MSD для меченой частицы получается непосредственно из уравнения. (11):

${ displaystyle langle R_ {d} ^ {2} rangle sim { sqrt { tau}}.}$

(12)

Гетерогенные файлы

Решение уравнений (4)-(7) аппроксимируется выражением,^[5]

${ displaystyle P (x, t mid x_ {0}) приблизительно { frac {1} {c_ {N}}} Sigma _ { {p }} e ^ {- Sigma _ {j = -M} ^ {M} (x_ {j} -x_ {0, j} (p)) ^ {2} / 4tD_ {j}}.}$

(13)

Начиная с уравнения. (13), PDF-файл помеченной частицы в гетерогенном файле следует,^[5]

${ displaystyle P (r, t mid r_ {0}) sim { frac {1} {c_ {N}}} e ^ {- R_ {d} ^ {2} / 4 tau tau ^ { (1-a)) / (2- gamma (1 + a))}}; qquad tau = Delta ^ {- 2} Lambda t.}$

(14)

MSD помеченной частицы в гетерогенном файле берется из уравнения. (14):

${ Displaystyle langle R_ {d} ^ {2} rangle = 2 tau ^ {(1- gamma) / (2c- gamma)}, qquad c = 1 / ((1 + a)). }$

(15)

Обновление аномальных разнородных файлов

Результаты аномальных файлов обновления просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении. (8) записывается в терминах PDF который решает несвернутое уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это отношение осуществляется в пространстве Лапласа:

${ displaystyle { bar {P}} (x, s mid x_ {0}) = { frac {1} {{ bar {k}} _ { alpha} (s)}} { bar { P}} _ { text {nrml}} (x, s / { bar {k}} _ { alpha} (s) mid x_ {0}).}$

(16)

(Нижний индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения. (16), легко связать MSD броуновских разнородных файлов и аномальных неоднородных файлов,^[6]

${ displaystyle langle { bar {r}} ^ {2} (s) rangle = { frac {1} {{ bar {k}} _ { alpha} (s)}} langle { bar {r}} ^ {2} (s / { bar {k}} _ { alpha} (s)) rangle _ { text {nrml}}.}.}$

(17)

Из уравнения. (18), оказывается, что MSD файла с нормальной динамикой в ​​силе ${ displaystyle alpha}$ это MSD соответствующего файла восстановления-аномалии,^[6]

${ displaystyle langle r ^ {2} (t) rangle sim langle r ^ {2} (t) rangle _ { text {nrml}} ^ { alpha}.}$

(19)

Аномальные файлы с независимыми частицами

Уравнение движения для аномальных файлов с независимыми частицами, (9), очень сложно. Решения для таких файлов достигаются при выводе законов масштабирования и с помощью численного моделирования.

Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц

Сначала запишем масштабный закон для среднего абсолютного смещения (СУМАСШЕДШИЙ) в файле обновления с постоянной плотностью:^[4][5][7]

${ displaystyle langle mid r mid rangle sim langle mid r mid rangle _ { text {free}} / n.}$

(20)

Здесь, ${ displaystyle n}$ количество частиц в покрытой длине ${ displaystyle langle mid r mid rangle}$, и ${ displaystyle langle mid r mid rangle _ { text {free}}}$ это СУМАСШЕДШИЙ свободной аномальной частицы, ${ displaystyle langle mid r mid rangle _ { text {free}} sim t ^ { alpha / 2})}$. В формуле. (20), ${ displaystyle n}$ входит в вычисления, так как все частицы на расстоянии ${ displaystyle langle mid r mid rangle}$ от помеченной частицы должна двигаться в том же направлении, чтобы помеченная частица достигла расстояния ${ displaystyle langle mid r mid rangle}$ из исходного положения. На основании уравнения. (20), запишем обобщенный закон масштабирования для аномальных файлов независимых частиц:

${ displaystyle langle | r | rangle sim { frac { langle mid r mid rangle _ { text {free}}} {n}} f (n); qquad 0$

(21)

Первый член в правой части уравнения. (21) также появляется в файлах обновления; тем не менее, член f (n) единственен. f (n) - это вероятность, которая объясняет тот факт, что для перемещения n аномальных независимых частиц в одном направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном направлении (выражается с помощью члена, (${ displaystyle langle mid r mid rangle _ { text {free}} / n)}$), частицы на периферии должны двигаться первыми, чтобы частицы в середине файла имели свободное пространство для перемещения, что требовало более быстрого времени перехода для частиц на периферии. f (n) появляется, потому что нет типичной шкалы времени для скачка в аномальных файлах, а частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте в течение очень долгого времени, существенно ограничивая возможности прогресса для частиц вокруг него. , в течение этого времени. Четко,${ Displaystyle 0 <е (п) <1}$, куда ж(п) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с ${ displaystyle alpha> 1}$, поскольку в таких файлах есть типичная шкала времени для прыжка, считающаяся временем для синхронизированного прыжка. Мы вычисляем f (n) из числа конфигураций, в которых порядок времени прыжка частиц позволяет двигаться; то есть порядок, при котором более быстрые частицы всегда располагаются ближе к периферии. Для n частиц их n! разные конфигурации, где одна конфигурация является оптимальной; так, ${ Displaystyle (1 / п!) Leq F (п)}$. Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение также возможно во многих других конфигурациях; когда m - количество движущихся частиц, тогда

${ Displaystyle е (п) сим { dbinom {п} {м}} (п-м)! 1 / п !,}$

(22)

куда ${ displaystyle { dbinom {n} {m}} (п-м)!}$ подсчитывает количество конфигураций, в которых m частиц вокруг помеченной частицы имеют оптимальный порядок перехода. Теперь, даже когда m ~ n / 2, ${ Displaystyle е (п) сим е ^ {- п / 2}}$. Использование в формуле. (21), ${ Displaystyle е (п) сим е ^ {- п / п_ {0}}}$ (${ displaystyle n_ {0}}$ небольшое число больше 1), мы видим,

${ displaystyle mathrm {MSD} sim left ({ frac { alpha} {n_ {0}}} right) ^ {2} ln ^ {2} (t).}$

(23)

(В уравнении (23), мы используем, ${ displaystyle MSD sim mid MAD mid ^ {2}}$.) Уравнение (23) показывает, что асимптотически частицы чрезвычайно медленны в аномальных массивах независимых частиц.

Численные исследования аномальных массивов независимых частиц

Рисунок 1 Траектории моделирования 501 аномальной независимой частицы с ${ Displaystyle альфа = 0,9,0.1}$ (рекомендуется: открыть файл в новом окне)

При численных исследованиях видно, что аномальные массивы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В установившемся режиме процент частиц в кластере, ${ Displaystyle хи ( альфа)}$, следует,

${ Displaystyle хи ( альфа) приблизительно { sqrt {1- альфа ^ {3}}}}$

(24)

На рисунке 1 мы показываем траектории от 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открывать файл в новом окне). На верхних панелях показаны траектории для ${ Displaystyle альфа = 0,9}$ а на нижних панелях показаны траектории для ${ displaystyle alpha = 0,1}$. Для каждого значения ${ displaystyle alpha}$ показаны траектории на ранних этапах моделирования (слева) и на всех этапах моделирования (справа). Панели демонстрируют феномен кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем перемещаются в значительной степени вместе.

Смотрите также

• Броуновское движение
• Динамика Ланжевена
• Системная динамика

Рекомендации