Теорема Эйлера о четырехугольнике - Eulers quadrilateral theorem - Wikipedia

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}$

Четырехугольная теорема Эйлера или же Закон Эйлера о четырехугольниках, названный в честь Леонард Эйлер (1707–1783), описывает соотношение между сторонами выпуклый четырехугольник и его диагонали. Это обобщение закон параллелограмма что, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теорема Пифагора. Из-за последнего повторная формулировка теоремы Пифагора в терминах четырехугольников иногда называется Теорема Эйлера – Пифагора.

Теорема и частные случаи

Для выпуклого четырехугольника со сторонами ${ displaystyle a, b, c, d}$, диагонали ${ displaystyle e}$ и ${ displaystyle f}$, и ${ displaystyle g}$ будучи отрезком прямой, соединяющим середины двух диагоналей, выполняются следующие уравнения:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}$

Если четырехугольник параллелограмм, то середины диагоналей совпадают так, что соединительный отрезок прямой ${ displaystyle g}$ имеет длину 0. Кроме того, параллельные стороны имеют одинаковую длину, поэтому теорема Эйлера сводится к

${ displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2}}$

что является законом параллелограмма.

Если четырехугольник прямоугольник, то уравнение еще больше упрощается, поскольку теперь две диагонали также имеют одинаковую длину:

${ displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = 2e ^ {2}}$

Деление на 2 дает теорему Эйлера – Пифагора:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = e ^ {2}}$

Другими словами, в случае прямоугольника соотношение сторон четырехугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.^[1]

Альтернативная формулировка и расширения

Теорема Эйлера с параллелограммом

Первоначально Эйлер вывел указанную выше теорему как следствие из несколько иной теоремы, которая требует введения дополнительной точки, но обеспечивает более структурное понимание.

Для данного выпуклого четырехугольника ${ displaystyle ABCD}$ Эйлер ввел дополнительную точку ${ displaystyle E}$ такой, что ${ displaystyle ABED}$ образует параллелограмм и тогда выполняется равенство:

${ Displaystyle | AB | ^ {2} + | BC | ^ {2} + | CD | ^ {2} + | AD | ^ {2} = | AC | ^ {2} + | BD | ^ {2} + | CE | ^ {2}}$

Расстояние ${ displaystyle | CE |}$ между дополнительной точкой ${ displaystyle E}$ и точка ${ displaystyle C}$ четырехугольник, не являющийся частью параллелограмма, можно рассматривать как измерение того, насколько четырехугольник отклоняется от параллелограмма и ${ displaystyle | CE | ^ {2}}$ - поправочный член, который необходимо добавить к исходному уравнению закона параллелограмма.^[2]

${ displaystyle M}$ быть серединой ${ displaystyle AC}$ дает ${ Displaystyle { tfrac {| AC |} {| AM |}} = 2}$. С ${ displaystyle N}$ это середина ${ displaystyle BD}$ это также середина ${ displaystyle AE}$, так как ${ displaystyle AE}$ и ${ displaystyle BD}$ обе диагонали параллелограмма ${ displaystyle ABED}$. Это дает ${ Displaystyle { tfrac {| AE |} {| AN |}} = 2}$ и поэтому ${ displaystyle { tfrac {| AC |} {| AM |}} = { tfrac {| AE |} {| AN |}}}$. Следовательно, из теорема о перехвате (и его обратное), что ${ displaystyle CE}$ и ${ displaystyle NM}$ параллельны и ${ displaystyle | CE | ^ {2} = (2 | NM |) ^ {2} = 4 | NM | ^ {2}}$, откуда следует теорема Эйлера.^[2]

Теорема Эйлера может быть распространена на более широкий набор четырехугольников, включая скрещенные и неплоские. Это справедливо для так называемых обобщенные четырехугольники, которые просто состоят из четырех произвольных точек в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ соединены ребрами так, что образуют график цикла.^[3]

Примечания

Рекомендации

• Дина Хаунспергер, Стивен Кеннеди: Край Вселенной: празднование десятилетия математических горизонтов. МАА, 2006 г., ISBN  9780883855553, стр. 137–139
• Локенат Дебнат: Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия. World Scientific, 2010 г., ISBN  9781848165267, стр. 105–107
• К. Эдвард Сандифер: Как это сделал Эйлер. МАА, 2007 г., ISBN  9780883855638, стр. 33–36
• Джеффри А. Кэндалл: Теорема Эйлера для обобщенных четырехугольников. Математический журнал колледжа, Vol. 33, № 5 (ноябрь 2002 г.), стр. 403–404 (JSTOR )
• Дитмар Херрманн: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013 г., ISBN  9783642376122, п. 418

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». MathWorld.