Энтропия запутанности - Entropy of entanglement

В энтропия запутанности (или же энтропия запутанности) - мера степени квантовая запутанность между двумя подсистемами, составляющими составную из двух частей квантовая система. Учитывая чистый двудольный квантовое состояние составной системы можно получить приведенная матрица плотности описание знания о состоянии подсистемы. Энтропия запутывания - это Энтропия фон Неймана приведенной матрицы плотности для любой из подсистем. Если он не равен нулю, т.е. подсистема находится в смешанное состояние, это означает, что две подсистемы связаны.

Более математически; если состояние, описывающее две подсистемы А и B ${ Displaystyle | Psi _ {AB} rangle = | phi _ {A} rangle | phi _ {B} rangle}$является сепарабельным состоянием, то приведенная матрица плотности ${ displaystyle rho _ {A} = operatorname {Tr} _ {B} | Psi _ {AB} rangle langle Psi _ {AB} | = | phi _ {A} rangle langle phi _ {A} |}$это чистое состояние. Таким образом, энтропия состояния равна нулю. Аналогично матрица плотности B также будет иметь нулевую энтропию. Таким образом, уменьшенная матрица плотности с ненулевой энтропией является сигналом существования запутанности в системе.

Двудольная энтропия запутанности

Предположим, что квантовая система состоит из ${ displaystyle N}$частицы. Двойное разделение системы - это раздел, который делит систему на две части. ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, содержащий ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle l}$ частицы соответственно с ${ Displaystyle к + л = N}$. Энтропия двудольной запутанности определяется относительно этой двудольности.

Энтропия запутанности фон Неймана

Двудольная энтропия запутанности фон Неймана ${ displaystyle S}$ определяется как Энтропия фон Неймана любого из его редуцированных состояний, поскольку они имеют одинаковое значение (может быть доказано из разложения Шмидта состояния по двудольности); результат не зависит от того, какой из них мы выберем. То есть для чистого состояния ${ Displaystyle rho _ {AB} = | Psi rangle langle Psi | _ {AB}}$, это определяется как:

${ displaystyle { mathcal {S}} ( rho _ {A}) = - operatorname {Tr} [ rho _ {A} operatorname {log} rho _ {A}] = - operatorname {Tr } [ rho _ {B} operatorname {log} rho _ {B}] = { mathcal {S}} ( rho _ {B})}$

куда ${ Displaystyle rho _ {A} = operatorname {Tr} _ {B} ( rho _ {AB})}$ и ${ displaystyle rho _ {B} = operatorname {Tr} _ {A} ( rho _ {AB})}$ являются уменьшенные матрицы плотности для каждого раздела.

Энтропия запутанности может быть выражена с использованием сингулярных значений Разложение Шмидта государства. Любое чистое состояние можно записать как ${ displaystyle | Psi rangle = sum _ {i = 1} ^ {m} alpha _ {i} | u_ {i} rangle _ {A} otimes | v_ {i} rangle _ {B }}$ куда ${ displaystyle | u_ {i} rangle _ {A}}$ и ${ displaystyle | v_ {i} rangle _ {B}}$ являются ортонормированными состояниями в подсистеме ${ displaystyle A}$ и подсистема ${ displaystyle B}$ соответственно. Энтропия запутанности просто

${ displaystyle - sum _ {i} | alpha _ {i} | ^ {2} log (| alpha _ {i} | ^ {2})}$

Эта форма записи энтропии ясно показывает, что энтропия запутанности одинакова независимо от того, вычисляется ли частичный след по ${ displaystyle A}$ или же ${ displaystyle B}$ подсистема.

Многие меры запутанности сводятся к энтропии запутанности при оценке на чистых состояниях. Среди них:

• Перегонная запутанность
• Стоимость запутывания
• Запутанность формации
• Относительная энтропия запутанности
• Сжатое запутывание

Некоторые меры запутанности, которые не сводятся к энтропии запутанности:

• Негатив
• Логарифмическая отрицательность
• Устойчивость запутывания^[1]

Энтропия запутанности Реньи

Энтропия запутанности Реньи ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha}}$ также определены в терминах приведенных матриц плотности и индекса Реньи ${ displaystyle alpha geq 0}$. Он определяется как Энтропия Реньи приведенных матриц плотности:

${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha} ( rho _ {A}) = { frac {1} {1- alpha}} operatorname {log} operatorname {tr} ( rho _ {A} ^ { alpha}) = { mathcal {S}} _ { alpha} ( rho _ {B})}$

Обратите внимание, что в пределе ${ displaystyle alpha rightarrow 1}$Энтропия запутанности Реньи приближается к энтропии запутанности Фон Неймана.

Пример со связанными гармоническими осцилляторами

Рассмотрим два связанных квантовые гармонические осцилляторы, с позициями ${ displaystyle q_ {A}}$ и ${ displaystyle q_ {B}}$, импульсы ${ displaystyle p_ {A}}$ и ${ displaystyle p_ {B}}$, и гамильтониан системы

${ displaystyle H = (p_ {A} ^ {2} + p_ {B} ^ {2}) / 2+ omega _ {1} ^ {2} (q_ {A} ^ {2} + q_ {B } ^ {2}) / {2} + { omega _ {2} ^ {2} (q_ {A} -q_ {B}) ^ {2}} / {2}}$

С ${ displaystyle omega _ { pm} ^ {2} = omega _ {1} ^ {2} + omega _ {2} ^ {2} pm omega _ {2} ^ {2}}$матрица плотности чистого основного состояния системы равна ${ Displaystyle rho _ {AB} = | 0 rangle langle 0 |}$, который в позиционном базисе ${ displaystyle langle q_ {A}, q_ {B} | rho _ {AB} | q_ {A} ', q_ {B}' rangle propto exp left (- { omega _ {+} (q_ {A} + q_ {B}) ^ {2}} / {2} - { omega _ {-} (q_ {A} -q_ {B}) ^ {2}} / {2} - { omega _ {+} (q '_ {A} + q' _ {B}) ^ {2}} / {2} - { omega _ {-} (q '_ {A} -q' _ { B}) ^ {2}} / {2} right)}$. потом ^[2]

${ displaystyle langle q_ {A} | rho _ {A} | q_ {A} ' rangle propto exp left ({ frac {2 ( omega _ {+} - omega _ {-}) ) ^ {2} q_ {A} q_ {A} '- (8 omega _ {+} omega _ {-} + ( omega _ {+} - omega _ {-}) ^ {2}) (q_ {A} ^ {2} + q_ {A} '^ {2})} {8 ( omega _ {+} + omega _ {-})}} right)}$

С ${ displaystyle rho _ {A}}$ оказывается в точности равной матрице плотности одиночного квантового гармонического осциллятора с частотой ${ Displaystyle omega Equiv { sqrt { omega _ {+} omega _ {-}}}}$ в тепловое равновесие с температура ${ displaystyle T}$ (такой, что ${ displaystyle omega / k_ {B} T = cosh ^ {- 1} left ({ frac {8 omega _ {+} omega _ {-} + ( omega _ {+} - omega _ {-}) ^ {2}} {( omega _ {+} - omega _ {-}) ^ {2}}} right)}$ куда ${ displaystyle k_ {B}}$ это Постоянная Больцмана ) собственные значения ${ displaystyle rho _ {A}}$ находятся ${ displaystyle lambda _ {n} = (1-e ^ {- omega / k_ {B} T}) e ^ {- n omega / k_ {B} T}}$ для неотрицательных целых чисел ${ displaystyle n}$. Таким образом, энтропия фон Неймана

${ displaystyle - sum _ {n} lambda _ {n} ln ( lambda _ {n}) = { frac { omega / k_ {B} T} {e ^ { omega / k_ {B } T} -1}} - ln (1-e ^ {- omega / k_ {B} T})}$.

Аналогично энтропия Реньи ${ displaystyle S _ { alpha} ( rho _ {A}) = { frac {(1-e ^ {- omega / k_ {B} T}) ^ { alpha}} {1-e ^ { - alpha omega / k_ {B} T}}} / (1- alpha)}$.

Закон площади двудольной энтропии запутанности

Квантовое состояние удовлетворяет местное право если главный член энтропии запутанности растет не более чем пропорционально границе между двумя разбиениями. Законы площади замечательно распространены для основных состояний локальных щелевых квантовых систем многих тел. Это имеет важные приложения, одно из которых состоит в том, что оно значительно снижает сложность квантовых систем многих тел. В ренормгруппа матрицы плотности и матричные состояния продукта, например, безоговорочно полагаются на такие законы области.^[3]

Ссылки / источники

• Янцинг, Доминик (2009). «Энтропия запутывания». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Weinert, Friedel (ред.). Сборник квантовой физики. Springer. стр.205 –209. Дои:10.1007/978-3-540-70626-7_66. ISBN  978-3-540-70626-7.