Каскад энергии - Energy cascade

Визуализация потока турбулентной струи, создаваемой лазерно-индуцированная флуоресценция. Струя имеет широкий диапазон масштабов длины, что является предпосылкой для появления энергетического каскада при моделировании турбулентности.

В механика сплошной среды, энергетический каскад включает в себя передачу энергии от больших масштабов движения к мелким масштабам (называемым каскад прямой энергии) или перенос энергии от малых масштабов к большим (называемый каскад обратной энергии). Эта передача энергии между различными масштабами требует, чтобы динамика системы нелинейный. Строго говоря, каскад требует, чтобы передача энергии была локальной по масштабу (только между флуктуациями почти одинакового размера), вызывая каскадный водопад от пула к пулу без передачи на большие расстояния в масштабной области.

У больших вихрей есть маленькие вихри
которые питаются их скоростью,
И маленькие водовороты имеют меньшие водовороты
и так далее по вязкости

—Льюис Ф. Ричардсон, 1922^[1]

Эта концепция играет важную роль в изучении хорошо разработанных турбулентность. Это было незабываемо выражено в этом стихотворении Льюис Ф. Ричардсон в 1920-е гг. Энергетические каскады также важны для ветровые волны в теории волновая турбулентность.

Рассмотрим, например, турбулентность, создаваемую воздушным потоком вокруг высокого здания: содержащие энергию водовороты, создаваемые разделение потока имеют размеры порядка десятков метров. Где-то ниже по течению, рассеяние к вязкость происходит, по большей части, в водовороты на Колмогоровские микромасштабы: порядка миллиметра в данном случае. На этих промежуточных масштабах нет ни прямого нагнетания потока, ни значительного количества вязкой диссипации, но есть чистая нелинейная передача энергии от больших масштабов к мелким.

Этот промежуточный диапазон шкал, если он присутствует, называется инерционный поддиапазон. Динамика в этих масштабах описывается с помощью самоподобие, или по предположениям - для закрытия турбулентности - на статистический свойства течения в инерционном поддиапазоне. Новаторской работой был вывод Андрей Колмогоров в 1940-е годы ожидаемого волновое число спектр в инерционном поддиапазоне турбулентности.

Спектры в инерционном поддиапазоне турбулентного течения

Схематическое изображение производства, каскада энергии и рассеяния в энергетическом спектре турбулентности.

Самые большие движения или водовороты турбулентности содержат большую часть кинетическая энергия, тогда как мельчайшие вихри ответственны за вязкую диссипацию кинетической энергии турбулентности. Колмогоров предположил, что, когда эти масштабы хорошо разделены, промежуточный диапазон масштабов длины будет статистически изотропным, и что его характеристики в равновесии будут зависеть только от скорости, с которой кинетическая энергия рассеивается на малых масштабах. Диссипация - это фрикционный преобразование механическая энергия к тепловая энергия. Скорость рассеяния ε может быть записана в терминах флуктуирующего скорость деформации в турбулентном потоке и кинематической вязкости жидкости ν. Он имеет размерность энергии на единицу массы в секунду. В равновесии производство кинетической энергии турбулентности на больших масштабах движения равно диссипации этой энергии на малых масштабах.

Энергетический спектр турбулентности

В энергетический спектр турбулентности, E(k), связана со средней кинетической энергией турбулентности на единицу массы как^[2]

{ displaystyle { frac {1} {2}} left ({ overline {u_ {i} u_ {i}}} right) = int _ {0} ^ { infty} E (k) ; dk,}

куда ты_я - компоненты пульсирующей скорости, черта сверху означает среднее по ансамблю, суммирование по я подразумевается, и k это волновое число. Энергетический спектр, E(k), таким образом, представляет вклад в кинетическую энергию турбулентности от волновых чисел от k к k + dk. Самые большие водовороты имеют низкое волновое число, а маленькие водовороты имеют высокое волновое число.

Поскольку диффузия идет как Лапласиан скорости, скорость диссипации может быть записана в терминах энергетического спектра как:

{ Displaystyle varepsilon = 2 nu int _ {0} ^ { infty} k ^ {2} E (k) ; dk,}

с ν кинематическая вязкость жидкости. Из этого уравнения снова можно заметить, что диссипация в основном связана с высокими волновыми числами (небольшими вихрями), хотя кинетическая энергия в основном связана с более низкими волновыми числами (большие вихри).

Энергетический спектр в инерционном поддиапазоне

Передача энергии от низких волновых чисел к высоким волновым числам является энергетическим каскадом. Эта передача передает кинетическую энергию турбулентности от больших масштабов к мелким масштабам, при которых вязкое трение рассеивает ее. В промежуточном диапазоне масштабов, так называемом инерционном поддиапазоне, гипотезы Колмогорова привели к следующему универсальному виду для энергетического спектра:

{ Displaystyle E (k) = C varepsilon ^ {2/3} k ^ {- 5/3}.}

Обширные экспериментальные данные подтверждают этот результат в широком диапазоне условий. Экспериментально значение C = 1.5 наблюдается.^[2]

Спектр колебаний давления

Аналогичным образом можно охарактеризовать колебания давления в турбулентном потоке. Среднеквадратичное колебание давления в турбулентном потоке может быть представлено спектром давления, $π$ (k):

{ displaystyle { overline {p ^ {2}}} = int _ {0} ^ { infty} pi (k) ; dk.}

Для случая турбулентности без градиента средней скорости (изотропная турбулентность) спектр в инерционном поддиапазоне имеет вид

{ displaystyle pi (k) = альфа rho ^ {2} varepsilon ^ {4/3} k ^ {- 7/3},}

куда ρ - плотность жидкости, а α = 1.32 C² = 2.97.^[3] Градиент средней скорости потока (сдвиговый поток ) создает дополнительный аддитивный вклад в спектр давления в инерционном поддиапазоне, который изменяется как k^−11/3; но k^−7/3 поведение доминирует при более высоких волновых числах.

Спектр капиллярных возмущений на свободной поверхности жидкости

Колебания давления под свободной поверхностью жидкости могут вызывать колеблющиеся смещения поверхности жидкости. Это взаимодействие свободной поверхности и турбулентности также может характеризоваться волновое число спектр. Если δ - мгновенное смещение поверхности от ее среднего положения, среднеквадратичное смещение может быть представлено в виде спектра смещения грамм(k) в качестве:

{ displaystyle { overline { delta ^ {2}}} = int _ {0} ^ { infty} G (k) ; dk.}

Трехмерная форма спектра давления может быть объединена с Уравнение Юнга – Лапласа чтобы показать, что:^[4]

{ Displaystyle G (k) propto k ^ {- 19/3}.}

Экспериментальное наблюдение этого k^−19/3 Закон получен оптическими измерениями поверхности турбулентных свободных струй жидкости.^[4]

Примечания

^ Ричардсон (1922 г., п. 66)
^ ^а ^б Папа, С. (2000). Турбулентные потоки. Издательство Кембриджского университета.
^ Джордж, W.K; Бойтер, П. И Арндт Р.Э.А. (Ноябрь 1984 г.). «Спектры давления в турбулентных свободных сдвиговых потоках». Журнал гидромеханики. 148: 155–191. Bibcode:1984JFM ... 148..155G. Дои:10.1017 / S0022112084002299.
^ ^а ^б Bhunia, S.K .; Линхард V, J.H. (Декабрь 1994 г.). «Эволюция поверхностных возмущений и разбрызгивание турбулентных струй жидкости». Журнал инженерии жидкостей. 116 (4): 721–727. Дои:10.1115/1.2911841.

внешняя ссылка

Г. Фалькович (ред.). «Каскад и масштабирование». Scholarpedia.

[1] Ричардсон (1922 г., п. 66)

[Pope-2] а ^б Папа, С. (2000). Турбулентные потоки. Издательство Кембриджского университета.

[George-3] Джордж, W.K; Бойтер, П. И Арндт Р.Э.А. (Ноябрь 1984 г.). «Спектры давления в турбулентных свободных сдвиговых потоках». Журнал гидромеханики. 148: 155–191. Bibcode:1984JFM ... 148..155G. Дои:10.1017 / S0022112084002299.

[Bhunia-4] а ^б Bhunia, S.K .; Линхард V, J.H. (Декабрь 1994 г.). «Эволюция поверхностных возмущений и разбрызгивание турбулентных струй жидкости». Журнал инженерии жидкостей. 116 (4): 721–727. Дои:10.1115/1.2911841.

[1]

[2]

[3]

[4]