Цифровая теория Морзе - Digital Morse theory

В математика, цифровая теория Морса[1][2] это цифровая адаптация континуума Теория Морса для скаляра объемные данные. Дело не в Сэмюэл Морс с азбука Морзе длинных и коротких щелчков или тонов, используемых в ручном электротелеграфии. Термин был впервые обнародован DB Karron на основе работы JL Cox и DB Karron.

Основная полезность цифровой теории Морзе заключается в том, что она служит теоретической основой для изоповерхности (своего рода вложенное многообразие подмногообразие ) и перпендикулярно рационализирует в цифровом контексте. Предполагаемое основное применение ДМТ - это быстрая полуавтоматическая сегментация объектов, таких как органы и анатомические структуры, из стопок медицинских изображений, таких как полученные с помощью трехмерной компьютерной томографии с помощью технологий КТ или МРТ.

DMT Tree

А Дерево ДМТ это цифровая версия График Риба или контурный древовидный граф, показывающий взаимосвязь и связь одного определенного объекта с другим. Как правило, это вложенные объекты, один внутри другого, устанавливающие отношения родитель-потомок, или два объекта, стоящих отдельно друг от друга с одноранговыми отношениями.

Существенное понимание теории Морса можно дать в небольшой притче.

Мысленный эксперимент в аквариуме

Мысленный эксперимент в аквариуме: подсчет островов при изменении уровня воды

Основная идея непрерывной теории Морса может быть получена путем мысленного эксперимента. Рассмотрим прямоугольный стеклянный аквариум. В этот резервуар мы насыпаем небольшое количество песка, так что у нас есть два плавно наклонных небольших холма, один выше другого. Теперь мы заполняем этот резервуар водой до краев. Теперь мы начинаем подсчет количества островных объектов, поскольку мы очень медленно опорожняем резервуар.

Наше первоначальное наблюдение состоит в том, что на нашей сцене танка нет островных элементов. По мере того, как уровень воды падает, мы наблюдаем, что уровень воды совпадает с пиком самого высокого песчаного холма. Затем мы наблюдаем за поведением воды на критической вершине холма. Мы видим вырожденный контур точечного острова с нулевой площадью, нулевым периметром и бесконечной кривизной. Исчезающее небольшое изменение уровня воды, и этот точечный контур расширяется до крошечного острова. Теперь мы увеличиваем количество объектов нашего острова на +1. Продолжаем сливать воду из бака и наблюдаем создание второго острова на вершине второго холма. Мы снова увеличиваем количество объектов нашего острова на +1 до двух объектов. В нашем маленьком море есть два островных объекта. По мере того как мы продолжаем медленно понижать уровень воды в нашем маленьком аквариуме, мы наблюдаем, как контуры двух островов постепенно расширяются и растут по направлению друг к другу. Когда уровень воды достигает уровня критической седловой точки между двумя холмами, очертания острова соприкасаются точно в седловой точке. Мы замечаем, что наш счетчик объектов уменьшается на –1, чтобы общее количество островков было равно единице. Существенной особенностью этой рубрики является то, что мы нужно только посчитать пики и пройти в инвентарь Всеострова в нашем море или объекты в нашей сцене. Этот подход работает даже тогда, когда мы увеличиваем сложность сцены.

Мы можем использовать ту же идею перечисления пиков, ям и критичностей прохождения в очень сложном архипелаге островных объектов в любом масштабе или любом диапазоне масштабов, включая шум в любом масштабе размера.

Связь между объектами острова может быть

  1. Сверстники: два острова, которые на более низком уровне воды «сливаются» в общую родительскую.
  2. Родитель: остров, который разделяется на два дочерних острова на более высоком уровне воды.
  3. Потомство: Остров с родительским островом, как описано выше.

Цифровая теория Морзе связывает пики, ямы и пасы с родителями, сверстниками и потомками. Это дает симпатичную мнемонику: PPP → ppp.

Поскольку топология не заботится о геометрии или размерности (напрямую), сложные оптимизации в бесконечномерных гильбертовых пространствах поддаются такому анализу.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Cox, J .; Karron, D. B .; Фердоус, Н. (2003). "Организация топологической зоны скалярных объемных данных". Журнал математической визуализации и зрения. 18 (2): 95–117. Дои:10.1023 / А: 1022113114311.
  2. ^ Цифровая теория Морса для скалярных объемных данных В архиве 2009-01-24 на Wayback Machine . DIMACS 2003. [1]