Отклонение позета - Deviation of a poset

В теоретико-порядковая математика, то отклонение позета является порядковый номер измерение сложности частично заказанный набор.

Отклонение позета используется для определения Измерение Крулля из модуль над кольцом как отклонение набора подмодулей.

Определение

Тривиальный объектный набор (тот, в котором нет двух сопоставимых элементов) объявляется имеющим отклонение ${ displaystyle - infty}$. Нетривиальный ч.у., удовлетворяющий условию убывающей цепи, называется имеющим отклонение 0. Тогда индуктивно говорят, что ч.у.м. имеет отклонение не более α (для ординала α), если для каждой нисходящей цепочки элементов а₀ > а₁ > ... все, кроме конечного числа положений элементов между а_п и а_п+1 имеют отклонение менее α. Отклонение (если оно существует) - это минимальное значение α, для которого это верно.

Не в каждом позе есть отклонение. Следующие условия на poset эквивалентны:

• У посета есть отклонение
• В противоположный позет имеет отклонение
• Пусет не содержит подмножества порядково-изоморфный к рациональное число (со стандартным порядком номеров)

Примеры

У множества положительных чисел есть отклонение 0: каждая нисходящая цепочка конечна, поэтому определяющим условием отклонения является пусто правда Однако его противоположный позет имеет отклонение 1.

Позволять k - алгебраически замкнутое поле, и рассмотрим ч.у. идеалов кольца многочленов k [x] в одной переменной. Поскольку отклонение этого чугуна является размерностью Крулля кольца, мы знаем, что оно должно быть равно 1. Это соответствует тому факту, что k [x] не имеет условия нисходящей цепочки (поэтому отклонение больше нуля), но в любой нисходящей цепочке последовательные элементы находятся «близко друг к другу». Например, возьмем нисходящую цепочку идеалов ${ Displaystyle (х) supset (х ^ {2}) supset (х ^ {3}) supset ...}$ - это бесконечная нисходящая цепочка, но для любых двух последовательных членов, скажем, ${ Displaystyle (х ^ {п})}$ и ${ Displaystyle (х ^ {п + 1})}$, не существует бесконечной нисходящей цепочки идеалов k [x] содержится между этими условиями.

Расширяя этот пример дальше, рассмотрим кольцо многочленов от двух переменных, к [х, у], имеющий размерность Крулля 2. Возьмем нисходящую цепочку ${ Displaystyle (х) supset (х ^ {2}) supset (х ^ {3}) supset ...}$. Учитывая любые два соседних члена в этой цепочке, ${ Displaystyle (х ^ {п})}$ и ${ Displaystyle (х ^ {п + 1})}$, существует бесконечная убывающая цепочка ${ displaystyle (x ^ {n} y, x ^ {n + 1}) supset (x ^ {n} y ^ {2}, x ^ {n + 1}) supset (x ^ {n} y ^ {3}, x ^ {n + 1}) supset ...}$. Таким образом, мы можем найти нисходящую цепочку, такую, что между любыми двумя соседними элементами существует еще одна бесконечная нисходящая цепочка - мы можем «вложить» нисходящие цепочки в два уровня. Продолжая это, легко видеть, что в кольце многочленов в п переменные, можно вкладывать нисходящие цепочки п слои глубокие и не более. Это, по сути, то, что означает наличие отклонения от идеалов. п.

Рекомендации

• McConnell, J.C .; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике, 30 (Пересмотренное издание), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2169-5, МИСТЕР  1811901

Этот теория множеств -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.