Локсодромная последовательность Кокстера касательных окружностей - Coxeters loxodromic sequence of tangent circles - Wikipedia

Синий круг 0 ​​касается окружностей 1, 2 и 3, а также предыдущих окружностей -1, -2 и -3.

В геометрия, Локсодромная последовательность Кокстера касательных окружностей представляет собой бесконечную последовательность окружностей, расположенных так, что любые четыре последовательных окружности в этой последовательности попарно касаются друг друга. Это означает, что каждый круг в последовательности касается трех окружностей, которые ему предшествуют, а также трех окружностей, следующих за ним.

Радиусы окружностей в последовательности образуют геометрическая прогрессия с соотношением

${ displaystyle k = varphi + { sqrt { varphi}} приблизительно 2,89005 ,}$

где φ - Золотое сечение. k и обратная ему удовлетворяют уравнению

${ displaystyle (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3}) ^ {2} = 2 (1 + x ^ {2} + x ^ {4} + x ^ {6}) ,}$

и поэтому любые четыре последовательных круга в последовательности удовлетворяют условиям Теорема Декарта.

Центры окружностей в последовательности лежат на логарифмическая спираль. Если смотреть из центра спирали, угол между центрами следующих друг за другом кругов равен

${ displaystyle cos ^ {- 1} left ({ frac {-1} { varphi}} right) приблизительно 128,173 ^ { circ} .}$

Конструкция названа в честь геометра. Дональд Коксетер, который обобщил двумерный случай на последовательности сфер и гиперсферы в высших измерениях. Его можно интерпретировать как вырожденный частный случай Спираль Дойля.

Смотрите также

• Аполлонийская прокладка

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Локсодромная последовательность Кокстера касательных кругов". MathWorld.
• Х. С. М. Кокстер - Теорема Декарта о круге и числа Фибоначчи