Функция Control-Ляпунова - Control-Lyapunov function

В теория управления, а функция управления-Ляпунова^[1] это Функция Ляпунова ${displaystyle V (x)}$ для системы с управляющими входами. Обычная функция Ляпунова используется для проверки того, динамическая система является стабильный (более строго, асимптотически устойчивый). То есть, запускается ли система в состоянии ${displaystyle xeq 0}$ в какой-то области D останется в D, или для асимптотическая устойчивость в конечном итоге вернется к ${displaystyle x = 0}$ . Функция контроля-Ляпунова используется для проверки того, является ли система стабилизируемая обратная связь, то есть для любого состояния Икс существует контроль ${displaystyle u (x, t)}$ такое, что система может быть переведена в нулевое состояние, применяя управление ты.

Более формально, предположим, что нам дана автономная динамическая система

{displaystyle {точка {x}} = f (x, u)}

куда ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ - вектор состояния и ${displaystyle uin mathbb {R} ^ {m}}$ вектор управления, и мы хотим, чтобы обратная связь стабилизировала его до ${displaystyle x = 0}$ в какой-то области ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^ {n}}$ .

Определение. Функция управления-Ляпунова - это функция ${displaystyle V: Dightarrow mathbb {R}}$ которая непрерывно дифференцируема, положительно определена (т. е. ${displaystyle V (x)}$ положительный, за исключением ${displaystyle x = 0}$ где он равен нулю), и такой, что

{displaystyle forall xeq 0, существует uqquad {dot {V}} (x, u) = abla V (x) cdot f (x, u) <0.}

Последнее условие - ключевое условие; на словах говорится, что для каждого штата Икс мы можем найти контроль ты что уменьшит "энергию" V. Интуитивно понятно, что если в каждом состоянии мы всегда можем найти способ уменьшить энергию, в конечном итоге мы сможем свести энергию к нулю, то есть остановить систему. Это подтверждается следующим результатом:

Теорема Арстейна. Динамическая система обладает дифференцируемой функцией управления-Ляпунова тогда и только тогда, когда существует регулярная стабилизирующая обратная связь ты(Икс).

Может быть нелегко найти функцию управления-Ляпунова для данной системы, но если мы сможем ее найти благодаря некоторой изобретательности и удаче, тогда задача стабилизации обратной связи значительно упрощается, фактически она сводится к решению статической нелинейной проблема программирования

{displaystyle u ^ {*} (x) = {underset {u} {operatorname {arg, min}}} abla V (x) cdot f (x, u)}

для каждого государства Икс.

Теория и применение функций управления-Ляпунова были разработаны З. Арстейном и Э. Д. Зонтаг в 1980-х и 1990-х годах.

Пример

Вот характерный пример применения функции-кандидата Ляпунова к задаче управления.

Рассмотрим нелинейную систему, которая представляет собой систему масса-пружина-демпфер с упрочнением пружины и зависимой от положения массой, описываемой формулой

{displaystyle m (1 + q ^ {2}) {ddot {q}} + b {dot {q}} + K_ {0} q + K_ {1} q ^ {3} = u}

Теперь, учитывая желаемое состояние, ${displaystyle q_ {d}}$ , и фактическое состояние, ${displaystyle q}$ , с ошибкой, ${displaystyle e = q_ {d} -q}$ , определите функцию ${displaystyle r}$ в качестве

{displaystyle r = {точка {e}} + альфа e}

Кандидат Контр-Ляпунов тогда

{displaystyle V = {frac {1} {2}} r ^ {2}}

что положительно определено для всех ${displaystyle qeq 0}$ , ${displaystyle {dot {q}} eq 0}$ .

Теперь возьмем производную по времени от ${displaystyle V}$

{displaystyle {точка {V}} = r {точка {r}}}

{displaystyle {точка {V}} = ({точка {e}} + альфа е) ({ddot {e}} + альфа {точка {e}})}

Цель состоит в том, чтобы получить производную по времени

{displaystyle {точка {V}} = - каппа V}

который глобально экспоненциально устойчив, если ${displaystyle V}$ является глобально положительно определенным (что и есть).

Следовательно, нам нужна самая правая скобка ${displaystyle {точка {V}}}$ ,

{displaystyle ({ddot {e}} + alpha {dot {e}}) = ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alpha {dot {e}})}

выполнить требование

{displaystyle ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alpha {dot {e}}) = - {frac {kappa} {2}} ({dot {e}} + alpha e )}

которые при подстановке динамики, ${displaystyle {ddot {q}}}$ , дает

{displaystyle left ({ddot {q}} _ {d} - {frac {u-K_ {0} q-K_ {1} q ^ {3} -b {dot {q}}}} {m (1 + q) ^ {2})}} + alpha {точка {e}} ight) = - {frac {kappa} {2}} ({точка {e}} + alpha e)}

Решение для ${displaystyle u}$ дает закон управления

{displaystyle u = m (1 + q ^ {2}) left ({ddot {q}} _ {d} + alpha {dot {e}} + {frac {kappa} {2}} right) + K_ {0 } q + K_ {1} q ^ {3} + b {точка {q}}}

с ${displaystyle kappa}$ и ${displaystyle alpha}$ , оба больше нуля, как настраиваемые параметры

Этот закон управления гарантирует глобальную экспоненциальную стабильность, поскольку при подстановке в производную по времени, как и ожидалось, дает

{displaystyle {точка {V}} = - каппа V}

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, имеющим решение

{displaystyle V = V (0) exp (-kappa t)}

Отсюда и ошибки, и частота ошибок, помня, что ${displaystyle V = {frac {1} {2}} ({точка {e}} + альфа e) ^ {2}}$ , экспоненциально затухают до нуля.

Если вы хотите настроить конкретный ответ из этого, необходимо снова подставить его в решение, которое мы получили для ${displaystyle V}$ и решить для ${displaystyle e}$ . Это оставлено как упражнение для читателя, но первые несколько шагов к решению: