Подсчет ограничений - Constraint counting

В математика, подсчет ограничений подсчитывает количество ограничения чтобы сравнить его с количеством переменные, параметры и т. д., которые могут быть определены свободно, причем идея состоит в том, что в большинстве случаев количество независимых выборов, которые можно сделать, является превышением последнего над первым.

Например, в линейная алгебра если количество ограничений (независимых уравнений) в система линейных уравнений равно количеству неизвестных, то существует ровно одно решение; если независимых уравнений меньше, чем неизвестных, существует бесконечное число решений; и если количество независимых уравнений превышает количество неизвестных, то решений не существует.

В контексте уравнения в частных производных, подсчет ограничений - это грубый, но часто полезный способ подсчета количества бесплатные функции необходимо указать решение для уравнение в частных производных.

Уравнения с частными производными

Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка с тремя переменными, например двумерное волновое уравнение

${ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}.}$

Такое уравнение часто бывает выгодно рассматривать как переписать правило позволяющий переписать произвольные частные производные функции ${ Displaystyle и (т, х, у)}$ используя меньшее количество партиалов, чем было бы необходимо для произвольной функции. Например, если ${ displaystyle u}$ удовлетворяет волновому уравнению, можно переписать

${ displaystyle u_ {tyt} = u_ {tty} = u_ {xxy} + u_ {yyy}}$

где в первом равенстве мы апеллировали к тому, что частные производные коммутируют.

Линейные уравнения

Чтобы ответить на этот вопрос в важном частном случае линейный уравнение в частных производных, Эйнштейн спросил: сколько частных производных решения может быть линейно независимый ? Его ответ удобно записать с помощью обычная производящая функция

${ Displaystyle s ( xi) = сумма _ {k = 0} ^ { infty} s_ {k} xi ^ {k}}$

где ${ displaystyle s_ {k}}$ - натуральное число, считающее количество линейно независимых частных производных (порядка k) произвольной функции в пространстве решений рассматриваемого уравнения.

Всякий раз, когда функция удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных, мы можем использовать соответствующее правило перезаписи, чтобы исключить некоторые из них, потому что дальнейшие смешанные частичные обязательно стали линейно зависимыми. В частности, степенной ряд с учетом разнообразия произвольный функции трех переменных (без ограничений)

${ Displaystyle е ( xi) = { гидроразрыва {1} {(1- xi) ^ {3}}} = 1 + 3 xi +6 xi ^ {2} +10 xi ^ {3} + точки}$

но степенной ряд с учетом тех, что находятся в пространстве решений некоторого п.о.п. второго порядка. является

${ Displaystyle г ( xi) = { гидроразрыва {1- xi ^ {2}} {(1- xi) ^ {3}}} = 1 + 2 xi +5 xi ^ {2} + 7 xi ^ {3} + точки}$

какие записи мы можем удалить один частичный второй порядок ${ displaystyle u_ {tt}}$, три частички третьего порядка ${ displaystyle u_ {ttt}, , u_ {ttx}, , u_ {tty}}$, и так далее.

В более общем плане o.g.f. для произвольной функции от n переменных есть

${ Displaystyle s [n] ( xi) = 1 / (1- xi) ^ {n} = 1 + n , xi + left ({ begin {matrix} n 2 end {matrix) }} right) , xi ^ {2} + left ({ begin {matrix} n + 1 3 end {matrix}} right) , xi ^ {3} + dots}$

где коэффициенты бесконечного степенной ряд производящей функции строятся с использованием подходящей бесконечной последовательности биномиальные коэффициенты, а степенной ряд для функции, необходимой для удовлетворения линейного уравнения m-го порядка, равен

${ Displaystyle г ( xi) = { гидроразрыва {1- xi ^ {m}} {(1- xi) ^ {n}}}}$

Следующий,

${ displaystyle { frac {1- xi ^ {2}} {(1- xi) ^ {3}}} = { frac {1+ xi} {(1- xi) ^ {2} }}}$

что можно интерпретировать как предсказание, что решение линейной п.о. второго порядка. в три переменные выражаются двумя свободно выбранный функции два переменные, одна из которых используется сразу, а вторая - только после выполнения первая производная, чтобы выразить решение.

Общее решение задачи начального значения

Чтобы проверить это предсказание, вспомните решение проблема начального значения

${ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}, ; u (0, x, y) = p (x, y), ; u_ {t} (0, x, y) = q (x, y)}$

Применяя Преобразование Лапласа ${ Displaystyle и (т, х, у) mapsto [Лу] ( омега, х, у)}$ дает

${ displaystyle - omega ^ {2} , [Lu] + omega , p (x, y) + q (x, y) + [Lu] _ {x} + [Lu] _ {y}}$

Применяя преобразование Фурье ${ Displaystyle [Лу] ( омега, х, у) mapsto [грипп] ( омега, м, п)}$ к двум пространственным переменным дает

${ Displaystyle - omega ^ {2} , [FLu] + omega , [Fp] + [Fq] - (m ^ {2} + n ^ {2}) , [FLu]}$

или

${ Displaystyle [FLu] ( omega, m, n) = { frac { omega , [Fp] (m, n) + [Fq] (m, n)} { omega ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}}}}$

Применение обратного преобразования Лапласа дает

${ displaystyle [Fu] (t, m, n) = [Fp] (m, n) , cos ({ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} , t) + { frac {[Fq] (m, n) , sin ({ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} , t)} { sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}}$

Применение обратного преобразования Фурье дает

${ Displaystyle и (т, х, у) = Q (т, х, у) + Р_ {т} (т, х, у)}$

где

${ Displaystyle Р (т, х, у) = { гидроразрыва {1} {2 пи}} , int _ {(х-х ') ^ {2} + (у-у') ^ {2 }$

${ displaystyle Q (t, x, y) = { frac {1} {2 pi}} , int _ {(x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2 }$

Здесь p, q - произвольные (достаточно гладкие) функции двух переменных, поэтому (из-за их скромной зависимости от времени) интегралы P, Q также считаются «свободно выбранными» функциями двух переменных; как и было обещано, один из них дифференцируется один раз перед добавлением к другому, чтобы выразить общее решение начальной задачи для двумерного волнового уравнения.

Квазилинейные уравнения

В случае нелинейного уравнения очень редко удается получить общее решение в замкнутой форме. Однако, если уравнение квазилинейный (линейный по производным высшего порядка), то мы все еще можем получить приблизительную информацию, аналогичную приведенной выше: указание члена пространства решений будет «по модулю нелинейных угрызений совести», эквивалентным указанию определенного количества функций с меньшим числом переменных. Количество этих функций равно Сила Эйнштейна п.о.э. В простом примере выше сила равна двум, хотя в этом случае мы смогли получить более точную информацию.

Рекомендации

• Сиклос, С. Т. С. (1996). «Подсчет решений уравнения Эйнштейна». Учебный класс. Квантовая гравитация. 13 (7): 1931–1948. Дои:10.1088/0264-9381/13/7/021. Применение подсчета ограничений к римановой геометрии и общей теории относительности.