Классические ортогональные многочлены - Classical orthogonal polynomials - Wikipedia

В математике классические ортогональные многочлены являются наиболее широко используемыми ортогональные многочлены: the Полиномы Эрмита, Полиномы Лагерра, Многочлены Якоби (включая как частный случай Полиномы Гегенбауэра, Полиномы Чебышева, и Полиномы Лежандра^[1]).

У них много важных приложений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайные матрицы ), теория приближения, числовой анализ, и много других.

Классические ортогональные многочлены появились в начале 19 века в работах А. Адриан-Мари Лежандр, который ввел полиномы Лежандра. В конце 19 века изучение непрерывные дроби решить проблема момента к П. Л. Чебышев а потом А.А. Марков и T.J. Стилтьес привело к общему понятию ортогональных многочленов.

Для данного многочлены ${ Displaystyle Q, L: mathbb {R} to mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle forall , п in mathbb {N} _ {0}}$ классические ортогональные многочлены ${ displaystyle f_ {n}: mathbb {R} to mathbb {R}}$ характеризуются тем, что являются решениями дифференциального уравнения

${ displaystyle Q (x) , f_ {n} ^ { prime prime} + L (x) , f_ {n} ^ { prime} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

с постоянными, которые предстоит определить ${ displaystyle lambda _ {n} in mathbb {R}}$.

Есть несколько более общих определений ортогональных классических многочленов; Например, Эндрюс и Аски (1985) используйте этот термин для всех многочленов в Схема Askey.

Определение

В общем случае ортогональные многочлены ${ displaystyle P_ {n}}$ по весу ${ Displaystyle W: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$

${ Displaystyle { begin {align} & deg P_ {n} = n ~, quad n = 0,1,2, ldots & int P_ {m} (x) , P_ {n} (x) , W (x) , dx = 0 ~, quad m neq n ~. end {align}}}$

Приведенные выше отношения определяют ${ displaystyle P_ {n}}$ с точностью до умножения на число. Для исправления константы используются различные нормализации, например

${ displaystyle int P_ {n} (x) ^ {2} W (x) , dx = 1 ~.}$

Классические ортогональные многочлены соответствуют трем семействам весов:

${ Displaystyle { begin {align} { text {(Jacobi)}} quad & W (x) = { begin {cases} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta } ~, & - 1 leq x leq 1 0 ~, & { text {else}} end {cases}} { text {(Hermite)}} quad & W (x) = exp (-x ^ {2}) { text {(Laguerre)}} quad & W (x) = { begin {cases} x ^ { alpha} exp (-x) ~, & x geq 0 0 ~, & { text {иначе}} end {case}} end {align}}}$

Стандартная нормализация (также называемая стандартизация) подробно описывается ниже.

Многочлены Якоби

За ${ Displaystyle альфа, , бета> -1}$ полиномы Якоби задаются формулой

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1-z) ^ {- alpha} (1 + z) ^ {- beta} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} left {(1-z) ^ { alpha} (1 + z) ^ { beta} (1-z ^ {2}) ^ {n} right } ~.}$

Они нормализованы (стандартизированы)

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1) = {n + alpha choose n},}$

и удовлетворяют условию ортогональности

${ displaystyle { begin {align} & int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {m} ^ {( alpha , beta)} (x) P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) ; dx = {} & { frac {2 ^ { alpha + beta +1}} {2n + alpha + beta +1}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} { Gamma (n + alpha + beta +1) n!} } delta _ {нм}. end {выравнивается}}}$

Многочлены Якоби являются решениями дифференциального уравнения

${ Displaystyle (1-х ^ {2}) у '' + ( бета - альфа - ( альфа + бета +2) х) у '+ п (п + альфа + бета +1) у = 0 ~.}$

Важные особые случаи

Многочлены Якоби с ${ Displaystyle альфа = бета}$ называются Полиномы Гегенбауэра (с параметром ${ Displaystyle гамма = альфа +1/2}$)

За ${ Displaystyle альфа = бета = 0}$, они называются Полиномы Лежандра (для которого интервал ортогональности равен [−1, 1], а весовая функция равна просто 1):

${ Displaystyle P_ {0} (x) = 1, , P_ {1} (x) = x, , P_ {2} (x) = { frac {3x ^ {2} -1} {2} }, , P_ {3} (x) = { frac {5x ^ {3} -3x} {2}}, ldots}$

За ${ Displaystyle альфа = бета = PM 1/2}$, получаем Полиномы Чебышева (второго и первого рода соответственно).

Полиномы Эрмита

Многочлены Эрмита определяются формулами^[2]

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = e ^ {x ^ {2} / 2} { bigg (} x - { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

Они удовлетворяют условию ортогональности

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} H_ {n} (x) H_ {m} (x) e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi }} 2 ^ {n} n! Delta _ {mn} ~,}$

и дифференциальное уравнение

${ displaystyle y '' - 2xy '+ 2n , y = 0 ~.}$

Полиномы Лагерра

Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулами

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = {x ^ {- alpha} e ^ {x} over n!} {d ^ {n} over dx ^ {n}} left (e ^ {- x} x ^ {n + alpha} right)}$

(классические полиномы Лагерра соответствуют ${ Displaystyle альфа = 0}$.)

Они удовлетворяют соотношению ортогональности

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha} e ^ {- x} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {m} ^ {( alpha) } (x) , dx = { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}} delta _ {n, m} ~,}$

и дифференциальное уравнение

${ Displaystyle х , у '' + ( альфа + 1-х) , у '+ п , у = 0 ~.}$

Дифференциальное уравнение

Классические ортогональные полиномы возникают из дифференциального уравнения вида

${ Displaystyle Q (x) , f '' + L (x) , f '+ lambda f = 0}$

куда Q является заданным квадратичным (не более чем) многочленом, и L - заданный линейный многочлен. Функция ж, а постоянная λ, должны быть найдены.

(Обратите внимание, что такое уравнение имеет смысл иметь полиномиальное решение.

Каждый член в уравнении представляет собой многочлен, а степени согласованы.)

Это Штурм – Лиувилль тип уравнения. Такие уравнения обычно имеют особенности в функциях решения f, за исключением частных значений λ. Их можно рассматривать как собственный вектор / собственное значение проблемы: Сдача D быть дифференциальный оператор, ${ Displaystyle D (е) = Qf '' + Lf '}$, и меняя знак λ, задача состоит в том, чтобы найти собственные векторы (собственные функции) f и соответствующие собственные значения λ, такое, что f не имеет особенностей и D(ж) = λf.

Решения этого дифференциального уравнения имеют особенности, если только λ принимает определенные значения. Есть ряд цифр λ₀, λ₁, λ₂, ... что привело к серии полиномиальных решений п₀, п₁, п₂, ... если выполняется одно из следующих условий:

1. Q на самом деле квадратичный, L линейно, Q имеет два различных реальных корня, корень L лежит строго между корнями Q, и ведущие условия Q и L имеют такой же знак.
2. Q на самом деле не квадратичный, а линейный, L линейна, корни Q и L разные, и ведущие термины Q и L имеют тот же знак, если корень L меньше, чем корень Q, или наоборот.
3. Q просто ненулевая константа, L линейно, а главный член L имеет противоположный знак Q.

Эти три случая приводят к Якоби, Лагероподобный, и Эрмитоподобный полиномы соответственно.

В каждом из этих трех случаев мы имеем следующее:

• Решения представляют собой серию многочленов п₀, п₁, п₂, ..., каждый п_п имеющий степень п, и соответствующее числу λ_п.
• Интервал ортогональности ограничен любыми корнями Q имеет.
• Корень L находится внутри интервала ортогональности.
• Сдача ${ Displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$, полиномы ортогональны относительно весовой функции ${ Displaystyle W (х) = { гидроразрыва {R (x)} {Q (x)}}}$
• W(Икс) не имеет нулей или бесконечностей внутри интервала, хотя может иметь нули или бесконечности в конечных точках.
• W(Икс) дает конечный скалярный продукт для любых многочленов.
• W(Икс) можно сделать больше 0 в интервале. (При необходимости отбросьте все дифференциальное уравнение, чтобы Q(Икс)> 0 внутри интервала.)

Из-за постоянной интегрирования величина р(Икс) определяется только с точностью до произвольной положительной мультипликативной постоянной. Он будет использоваться только в однородных дифференциальных уравнениях (где это не имеет значения) и в определении весовой функции (которая также может быть неопределенной). В таблицах ниже приведены «официальные» значения р(Икс) и W(Икс).

Формула Родригеса

Согласно предположениям предыдущего раздела,п_п(Икс) пропорциональна ${ displaystyle { frac {1} {W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left (W (x) [Q (x)] ^ { n} right).}$

Это известно как Формула Родригеса, после Олинде Родригес. Часто пишут

${ Displaystyle P_ {n} (x) = { frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} слева (W (x) [Q (x)] ^ {n} right)}$

где числа е_п зависят от стандартизации. Стандартные значения е_п будут приведены в таблицах ниже.

Цифры λ_п

В предположениях предыдущего раздела имеем

${ displaystyle lambda _ {n} = - n left ({ frac {n-1} {2}} Q '' + L ' right).}$

(С Q квадратично и L линейно, ${ displaystyle Q ''}$ и ${ displaystyle L '}$ являются константами, поэтому это просто числа.)

Вторая форма для дифференциального уравнения

Позволять

${ Displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}.}$

потом

${ displaystyle (Ry ')' = R , y '' + R ', y' = R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${ Displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

к р/Q, получающий

${ Displaystyle R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '+ { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0}$

или же

${ displaystyle (Ry ')' + { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0.}$

Это стандартная форма Штурма – Лиувилля для уравнения.

Третья форма для дифференциального уравнения

Позволять ${ Displaystyle S (x) = { sqrt {R (x)}} = e ^ { int { frac {L (x)} {2 , Q (x)}} , dx}.}$

потом

${ displaystyle S '= { frac {S , L} {2 , Q}}.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${ Displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

к S/Q, получающий

${ displaystyle S , y '' + { frac {S , L} {Q}} , y '+ { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

или же

${ Displaystyle S , y '' + 2 , S ', y' + { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

Но ${ Displaystyle (S , y) '' = S , y '' + 2 , S ', y' + S '' , y}$, так

${ displaystyle (S , y) '' + left ({ frac {S , lambda} {Q}} - S '' right) , y = 0,}$

или, позволяя ты = Sy,

${ displaystyle u '' + left ({ frac { lambda} {Q}} - { frac {S ''} {S}} right) , u = 0.}$

Формулы с производными

В предположениях предыдущего раздела пусть п^[р]
_п обозначить р-я производная от п_п(Мы заключили "r" в скобки, чтобы не путать с показателем степени.)п^[р]
_п является многочленом степени п − р. Тогда имеем следующее:

• (ортогональность) При фиксированном r полиномиальная последовательность п^[р]
  _р, п^[р]
  _{р + 1}, п^[р]
  _{р + 2}, ... ортогональны, взвешены ${ displaystyle WQ ^ {r}}$.
• (обобщенный Родригес формула) п^[р]
  _п пропорционально ${ displaystyle { frac {1} {W (x) [Q (x)] ^ {r}}} { frac {d ^ {nr}} {dx ^ {nr}}} left (W ( x) [Q (x)] ^ {n} right).}$
• (дифференциальное уравнение) п^[р]
  _п это решение ${ displaystyle {Q} , y '' + (rQ '+ L) , y' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] , y = 0}$, где λ_р та же функция, что и λ_п, то есть, ${ displaystyle lambda _ {r} = - r left ({ frac {r-1} {2}} Q '' + L ' right)}$
• (дифференциальное уравнение, вторая форма) п^[р]
  _п это решение ${ displaystyle (RQ ^ {r} y ')' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] RQ ^ {r-1} , y = 0}$

Есть также несколько смешанных повторений. В каждом из них числа а, б, и c зависит от пи р, и не связаны между собой в различных формулах.

• ${ Displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = AP_ {n + 1} ^ {[r + 1]} + bP_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ { [г + 1]}}$
• ${ displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ {[r + 1]}}$
• ${ displaystyle QP_ {n} ^ {[r + 1]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r]} + cP_ {n-1} ^ {[r]}}$

Существует огромное количество других формул, использующих ортогональные многочлены различными способами. Вот их крошечный образец, относящийся к полиномам Чебышева, ассоциированным полиномам Лагерра и Эрмита:

• ${ Displaystyle 2 , T_ {m} (x) , T_ {n} (x) = T_ {m + n} (x) + T_ {m-n} (x)}$
• ${ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 4) ^ {n} , n! , L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2})}$
• ${ Displaystyle Н_ {2n + 1} (х) = 2 (-4) ^ {п} , п! , х , L_ {п} ^ {(1/2)} (х ^ {2}) }$

Ортогональность

Дифференциальное уравнение для частного λ можно записать (без явной зависимости от x)

${ displaystyle Q { ddot {f}} _ {n} + L { dot {f}} _ {n} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

умножение на ${ Displaystyle (R / Q) е_ {м}}$ дает

${ displaystyle Rf_ {m} { ddot {f}} _ {n} + { frac {R} {Q}} Lf_ {m} { dot {f}} _ {n} + { frac {R } {Q}} lambda _ {n} f_ {m} f_ {n} = 0}$

и перестановка индексов дает

${ displaystyle Rf_ {n} { ddot {f}} _ {m} + { frac {R} {Q}} Lf_ {n} { dot {f}} _ {m} + { frac {R } {Q}} lambda _ {m} f_ {n} f_ {m} = 0}$

вычитание и интегрирование:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} left [R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) + { frac {R} {Q}} L (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] , dx + ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

но видно, что

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] = R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) , , + , , R { гидроразрыв {L} {Q}} (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m})}$

так что:

${ displaystyle left [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] _ {a} ^ {b } , , + , , ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

Если многочлены ж таковы, что член слева равен нулю, и ${ displaystyle lambda _ {m} neq lambda _ {n}}$ за ${ displaystyle m neq n}$, то будет соблюдаться соотношение ортогональности:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

за ${ displaystyle m neq n}$.

Вывод из дифференциального уравнения

Все полиномиальные последовательности, возникающие из приведенного выше дифференциального уравнения, эквивалентны при масштабировании и / или сдвиге области и стандартизации полиномов более ограниченным классам. Эти ограниченные классы являются в точности «классическими ортогональными многочленами».

• Каждая последовательность полиномов типа Якоби может иметь сдвинутую и / или масштабируемую область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был [−1, 1], и Q = 1 − Икс². Затем они могут быть стандартизированы в Многочлены Якоби ${ Displaystyle P_ {п} ^ {( альфа, бета)}}$. У них есть несколько важных подклассов: Гегенбауэр, Legendre, и два типа Чебышев.
• Каждая полиномиальная последовательность, подобная Лагерру, может иметь сдвинутую, масштабируемую и / или отраженную область области так, чтобы ее интервал ортогональности был равен ${ displaystyle [0, infty)}$, и имеет Q = Икс. Затем они могут быть стандартизированы в Ассоциированные полиномы Лагерра ${ Displaystyle L_ {п} ^ {( альфа)}}$. Простой Полиномы Лагерра ${ Displaystyle L_ {п}}$ являются их подклассом.
• Каждая полиномиальная последовательность типа Эрмита может иметь сдвинутую и / или масштабируемую область так, чтобы ее интервал ортогональности был равен ${ Displaystyle (- infty, infty)}$, и имеет Q = 1 и L (0) = 0. Тогда они могут быть стандартизированы в Полиномы Эрмита ${ displaystyle H_ {n}}$.

Поскольку все полиномиальные последовательности, возникающие из дифференциального уравнения описанным выше образом, тривиально эквивалентны классическим многочленам, всегда используются настоящие классические многочлены.

Многочлен Якоби

Полиномы типа Якоби, после того как их область определения сдвинута и масштабирована так, чтобы интервал ортогональности был [−1, 1], все еще имеют два параметра, которые необходимо определить. ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ в полиномах Якоби, записанных ${ Displaystyle P_ {п} ^ {( альфа, бета)}}$. У нас есть ${ Displaystyle Q (х) = 1-х ^ {2}}$ и${ Displaystyle L (х) = бета - альфа - ( альфа + бета +2) , х}$.Обе ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ должны быть больше -1 (это помещает корень L в интервал ортогональности).

Когда ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ не равны, эти многочлены не симметричны относительно Икс = 0.

Дифференциальное уравнение

${ Displaystyle (1-х ^ {2}) , y '' + ( beta - alpha - [ alpha + beta +2] , x) , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n (n + 1 + alpha + beta)}$

является Уравнение Якоби.

Подробнее см. Многочлены Якоби.

Полиномы Гегенбауэра

Когда задаются параметры ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ в полиномах Якоби, равных друг другу, получаем Гегенбауэр или же ультрасферический полиномы. Они написаны ${ Displaystyle C_ {п} ^ {( альфа)}}$, и определяется как

${ Displaystyle C_ {п} ^ {( альфа)} (х) = { гидроразрыва { Гамма (2 альфа ! + ! п) , Гамма ( альфа ! + ! 1/2 )} { Gamma (2 alpha) , Gamma ( alpha ! + ! N ! + ! 1/2)}} ! P_ {n} ^ {( alpha -1/2 , альфа -1/2)} (x).}$

У нас есть ${ Displaystyle Q (х) = 1-х ^ {2}}$ и${ Displaystyle L (х) = - (2 альфа +1) , х}$.Параметр ${ displaystyle alpha}$ должно быть больше -1/2.

(Между прочим, стандартизация, приведенная в таблице ниже, не имеет смысла для α = 0 и п 0, поскольку при этом полиномы будут равны нулю. В этом случае принятые наборы стандартизации ${ displaystyle C_ {n} ^ {(0)} (1) = { frac {2} {n}}}$ вместо значения, указанного в таблице.)

Игнорируя приведенные выше соображения, параметр ${ displaystyle alpha}$ тесно связан с производными от ${ Displaystyle C_ {п} ^ {( альфа)}}$:

${ Displaystyle C_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) = { frac {1} {2 alpha}} ! { frac {d} {dx}} C_ {n + 1 } ^ {( альфа)} (х)}$

или, в более общем смысле:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alpha + m)} (x) = { frac { Gamma ( alpha)} {2 ^ {m} Gamma ( alpha + m)}} ! C_ {n + m} ^ {( alpha) [m]} (x).}$

Все остальные классические многочлены типа Якоби (Лежандра и др.) Являются частными случаями многочленов Гегенбауэра, получаемых выбором значения ${ displaystyle alpha}$ и выбор стандартизации.

Подробнее см. Полиномы Гегенбауэра.

Полиномы Лежандра

Дифференциальное уравнение имеет вид

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n (n + 1 ).}$

Это Уравнение Лежандра.

Вторая форма дифференциального уравнения:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} [(1-x ^ {2}) , y '] + lambda , y = 0.}$

В отношение повторения является

${ displaystyle (n + 1) , P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) x , P_ {n} (x) -n , P_ {n-1} (x).}$

Смешанное повторение

${ Displaystyle P_ {n + 1} ^ {[r + 1]} (x) = P_ {n-1} ^ {[r + 1]} (x) + (2n + 1) , P_ {n} ^ {[r]} (x).}$

Формула Родригеса

${ displaystyle P_ {n} (x) = , { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left ([x ^ {2} -1] ^ {n} right).}$

Подробнее см. Полиномы Лежандра.

Ассоциированные полиномы Лежандра

В Ассоциированные полиномы Лежандра, обозначенный${ Displaystyle Р _ { ell} ^ {(м)} (х)}$ куда ${ displaystyle ell}$ и ${ displaystyle m}$ целые числа с ${ Displaystyle 0 leqslant м leqslant ell}$, определяются как

${ Displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} , (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} P _ { ell} ^ {[m]} (x).}$

В м в скобках (во избежание путаницы с показателем степени) - параметр. В м в скобках обозначает м-я производная полинома Лежандра.

Эти "многочлены" неправильно названы - они не являются многочленами, когда м странно.

У них есть рекуррентное отношение:

${ Displaystyle ( ell + 1-m) , P _ { ell +1} ^ {(m)} (x) = (2 ell +1) x , P _ { ell} ^ {(m) } (x) - ( ell + m) , P _ { ell -1} ^ {(m)} (x).}$

Для фиксированных м, последовательность ${ Displaystyle P_ {m} ^ {(m)}, P_ {m + 1} ^ {(m)}, P_ {m + 2} ^ {(m)}, точки}$ ортогональны над [−1, 1] с весом 1.

Для данного м, ${ Displaystyle Р _ { ell} ^ {(м)} (х)}$ являются решениями

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2xy '+ left [ lambda - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} right] , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = ell ( ell +1).}$

Полиномы Чебышева

Дифференциальное уравнение имеет вид

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n ^ {2} .}$

Это Уравнение Чебышева.

Рекуррентное отношение

${ Displaystyle T_ {n + 1} (x) = 2x , T_ {n} (x) -T_ {n-1} (x).}$

Формула Родригеса

${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac { Gamma (1/2) { sqrt {1-x ^ {2}}}} {(- 2) ^ {n} , Gamma ( n + 1/2)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left ([1-x ^ {2}] ^ {n-1/2} right) .}$

Эти многочлены обладают тем свойством, что в интервале ортогональности

${ displaystyle T_ {n} (x) = cos (n , arccos (x)).}$

(Чтобы доказать это, воспользуйтесь формулой рекуррентности.)

Это означает, что все их локальные минимумы и максимумы имеют значения −1 и +1, то есть полиномы являются «уровнями». Из-за этого иногда используется разложение функций по полиномам Чебышева. полиномиальные приближения в компьютерных математических библиотеках.

Некоторые авторы используют версии этих многочленов, которые были сдвинуты так, что интервал ортогональности равен [0, 1] или [−2, 2].

Это также Многочлены Чебышева второго рода, обозначенный ${ displaystyle U_ {n}}$

У нас есть:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {n + 1}} , T_ {n + 1} '.}$

Для получения дополнительной информации, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. Полиномы Чебышева.

Полиномы Лагерра

Наиболее общие полиномы типа Лагерра после сдвига и масштабирования области являются ассоциированными полиномами Лагерра (также называемыми обобщенными полиномами Лагерра), обозначенными ${ Displaystyle L_ {п} ^ {( альфа)}}$. Есть параметр ${ displaystyle alpha}$, которое может быть любым действительным числом, строго большим, чем -1. Параметр заключен в круглые скобки, чтобы избежать путаницы с показателем степени. Простые полиномы Лагерра - это просто ${ Displaystyle альфа = 0}$ версия этих:

${ displaystyle L_ {n} (x) = L_ {n} ^ {(0)} (x).}$

Дифференциальное уравнение имеет вид

${ displaystyle x , y '' + ( alpha + 1-x) , y '+ lambda , y = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Это Уравнение Лагерра.

Вторая форма дифференциального уравнения:

${ displaystyle (x ^ { alpha +1} , e ^ {- x} , y ')' + lambda , x ^ { alpha} , e ^ {- x} , y = 0 .}$

Рекуррентное отношение

${ Displaystyle (п + 1) , L_ {п + 1} ^ {( альфа)} (х) = (2n + 1 + альфа-х) , L_ {п} ^ {( альфа)} (x) - (n + alpha) , L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x).}$

Формула Родригеса

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {x ^ {- alpha} e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n} } {dx ^ {n}}} left (x ^ {n + alpha} , e ^ {- x} right).}$

Параметр ${ displaystyle alpha}$ тесно связан с производными от ${ Displaystyle L_ {п} ^ {( альфа)}}$:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) = - { frac {d} {dx}} L_ {n + 1} ^ {( alpha)} (x)}$

или, в более общем смысле:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha + m)} (x) = (- 1) ^ {m} L_ {n + m} ^ {( alpha) [m]} (x).}$

Уравнение Лагерра можно преобразовать в форму, более удобную для приложений:

${ displaystyle u = x ^ { frac { alpha -1} {2}} e ^ {- x / 2} L_ {n} ^ {( alpha)} (x)}$

это решение

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ left [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { alpha ^ {2} -1} {4x ^ {2}}} right] , u = 0 { text {with}} lambda = n + { frac { alpha +1} {2} }.}$

Этим можно управлять и дальше. Когда ${ displaystyle ell = { frac { alpha -1} {2}}}$ целое число, а ${ Displaystyle п geq ell +1}$:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n- ell -1} ^ {(2 ell +1)} (x)}$

это решение

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ left [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { ell ( ell +1)} {x ^ {2}}} right] , u = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Решение часто выражается в терминах производных вместо связанных полиномов Лагерра:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n + ell} ^ {[2 ell +1]} (x).}$

Это уравнение возникает в квантовой механике в радиальной части решения Уравнение Шредингера для одноэлектронного атома.

Физики часто используют определение полиномов Лагерра, которое больше, в несколько раз больше. ${ Displaystyle (п!)}$, чем определение, используемое здесь.

Для получения дополнительных сведений, включая выражения для первых нескольких полиномов, см. Полиномы Лагерра.

Полиномы Эрмита

Дифференциальное уравнение имеет вид

${ displaystyle y '' - 2xy '+ lambda , y = 0, qquad { text {with}} qquad lambda = 2n.}$

Это Уравнение Эрмита.

Вторая форма дифференциального уравнения:

${ displaystyle (e ^ {- x ^ {2}} , y ')' + e ^ {- x ^ {2}} , lambda , y = 0.}$

Третья форма

${ Displaystyle (е ^ {- х ^ {2} / 2} , у) '' + ( лямбда + 1-х ^ {2}) (е ^ {- х ^ {2} / 2} , y) = 0.}$

Рекуррентное отношение

${ Displaystyle H_ {n + 1} (x) = 2x , H_ {n} (x) -2n , H_ {n-1} (x).}$

Формула Родригеса

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} , e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} влево (e ^ {- x ^ {2}} right).}$

Первые несколько полиномов Эрмита

${ Displaystyle H_ {0} (х) = 1}$

${ Displaystyle H_ {1} (х) = 2x}$

${ displaystyle H_ {2} (х) = 4x ^ {2} -2}$

${ displaystyle H_ {3} (x) = 8x ^ {3} -12x}$

${ displaystyle H_ {4} (x) = 16x ^ {4} -48x ^ {2} +12}$

Можно определить связанные функции Эрмита

${ displaystyle psi _ {n} (x) = (h_ {n}) ^ {- 1/2} , e ^ {- x ^ {2} / 2} H_ {n} (x).}$

Поскольку множитель пропорционален квадратному корню из весовой функции, эти функции ортогональны по ${ Displaystyle (- infty, infty)}$ без весовой функции.

Третья форма приведенного выше дифференциального уравнения для связанных функций Эрмита имеет вид

${ displaystyle psi '' + ( lambda + 1-x ^ {2}) psi = 0.}$

Соответствующие функции Эрмита возникают во многих областях математики и физики. В квантовой механике они являются решениями уравнения Шредингера для гармонического осциллятора. Они также являются собственными функциями (с собственным значением (-я ^п) из непрерывное преобразование Фурье.

Многие авторы, особенно вероятностные, используют альтернативное определение полиномов Эрмита с весовой функцией ${ Displaystyle е ^ {- х ^ {2} / 2}}$ вместо ${ Displaystyle е ^ {- х ^ {2}}}$. Если обозначение Он используется для этих полиномов Эрмита, и ЧАС для тех, кто выше, то они могут характеризоваться

${ displaystyle He_ {n} (x) = 2 ^ {- n / 2} , H_ {n} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

Подробнее см. Полиномы Эрмита.

Характеризации классических ортогональных многочленов

Есть несколько условий, которые отличают классические ортогональные многочлены от других.

Первое условие было найдено Сонайном (а позже Ханом), который показал, что (с точностью до линейных замен переменной) классические ортогональные многочлены являются единственными, у которых их производные также являются ортогональными многочленами.

Бохнер охарактеризовал классические ортогональные многочлены в терминах их рекуррентных соотношений.

Трикоми охарактеризовал классические ортогональные многочлены как те, которые имеют определенный аналог Формула Родригеса.

Таблица классических ортогональных многочленов

В следующей таблице приведены свойства классических ортогональных многочленов.^[3]

Имя и условное обозначение	Чебышев, ${ Displaystyle T_ {п}}$	Чебышев (второй вид), ${ Displaystyle U_ {п}}$	Legendre, ${ Displaystyle P_ {п}}$	Эрмит, ${ Displaystyle H_ {п}}$
Пределы ортогональности[4]	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle - infty, infty}$
Масса, ${ Displaystyle W (х)}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ {- 1/2}}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ displaystyle 1}$	${ Displaystyle е ^ {- х ^ {2}}}$
Стандартизация	${ displaystyle T_ {n} (1) = 1}$	${ Displaystyle U_ {п} (1) = п + 1}$	${ Displaystyle P_ {n} (1) = 1}$	Срок действия ${ displaystyle = 2 ^ {n}}$
Квадрат нормы [5]	${ displaystyle left {{ begin {matrix} pi &: ~ n = 0 pi / 2 &: ~ n neq 0 end {matrix}} right.}$	${ displaystyle pi / 2}$	${ displaystyle { frac {2} {2n + 1}}}$	${ Displaystyle 2 ^ {п} , п! , { sqrt { pi}}}$
Ведущий термин [6]	${ Displaystyle 2 ^ {п-1}}$	${ Displaystyle 2 ^ {п}}$	${ displaystyle { frac {(2n)!} {2 ^ {n} , (n!) ^ {2}}}}$	${ Displaystyle 2 ^ {п}}$
Второй срок, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle -x}$	${ displaystyle -3x}$	${ displaystyle -2x}$	${ displaystyle -2x}$
${ Displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ {3/2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ Displaystyle е ^ {- х ^ {2}}}$
Константа в разн. уравнение, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ Displaystyle п ^ {2}}$	${ Displaystyle п (п + 2)}$	${ Displaystyle п (п + 1)}$	${ displaystyle 2n}$
Константа в формуле Родригеса, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , { frac { Gamma (n + 1/2)} { sqrt { pi}}}}$	${ displaystyle 2 (-2) ^ {n} , { frac { Gamma (n + 3/2)} {(n + 1) , { sqrt { pi}}}}}$	${ Displaystyle (-2) ^ {п} , п!}$	${ Displaystyle (-1) ^ {п}}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2n}$

Имя и условное обозначение	Associated Laguerre, ${ Displaystyle L_ {п} ^ {( альфа)}}$	Laguerre, ${ Displaystyle L_ {п}}$
Пределы ортогональности	${ displaystyle 0, infty}$	${ displaystyle 0, infty}$
Масса, ${ Displaystyle W (х)}$	${ Displaystyle х ^ { альфа} е ^ {- х}}$	${ displaystyle e ^ {- x}}$
Стандартизация	Срок действия ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	Срок действия ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Квадрат нормы, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (п + альфа +1)} {п!}}}$	${ displaystyle 1}$
Ведущий термин, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Второй срок, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва {(-1) ^ {п + 1} (п + альфа)} {(п-1)!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle x}$	${ displaystyle x}$
${ displaystyle L}$	${ Displaystyle альфа + 1-х}$	${ displaystyle 1-x}$
${ Displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ Displaystyle х ^ { альфа +1} , е ^ {- х}}$	${ Displaystyle х , е ^ {- х}}$
Константа в разн. уравнение, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n}$	${ displaystyle n}$
Константа в формуле Родригеса, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle n!}$	${ displaystyle n!}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle { frac {-1} {п + 1}}}$	${ displaystyle { frac {-1} {п + 1}}}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1 + alpha} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва {п + альфа} {п + 1}}}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$

Имя и условное обозначение	Гегенбауэр, ${ Displaystyle C_ {п} ^ {( альфа)}}$	Якоби, ${ Displaystyle P_ {п} ^ {( альфа, бета)}}$
Пределы ортогональности	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$
Масса, ${ Displaystyle W (х)}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ { альфа -1/2}}$	${ Displaystyle (1-х) ^ { альфа} (1 + х) ^ { бета}}$
Стандартизация	${ displaystyle C_ {n} ^ {( alpha)} (1) = { frac { Gamma (n + 2 alpha)} {n! , Gamma (2 alpha)}}}$ если ${ displaystyle alpha neq 0}$	${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1) = { frac { Gamma (n + 1 + alpha)} {n! , Gamma (1+ alpha)} }}$
Квадрат нормы, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва { пи , 2 ^ {1-2 альфа} Гамма (п + 2 альфа)} {п! (п + альфа) ( Гамма ( альфа)) ^ {2} }}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ { alpha + beta +1} , Gamma (n ! + ! alpha ! + ! 1) , Gamma (n ! + ! бета ! + ! 1)} {n! (2n ! + ! alpha ! + ! beta ! + ! 1) Gamma (n ! + ! alpha ! + ! beta ! + ! 1)}}}$
Ведущий термин, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 2 alpha) Gamma (1/2 + alpha)} {n! , 2 ^ {n} , Gamma (2 alpha) Gamma (n + 1/2 + alpha)}}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 1 + alpha + beta)} {n! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 + alpha + beta)}}}$
Второй срок, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {( alpha - beta) , Gamma (2n + alpha + beta)} {(n-1)! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 + альфа + бета)}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$
${ displaystyle L}$	${ Displaystyle - (2 альфа +1) , х}$	${ Displaystyle бета - альфа - ( альфа + бета +2) , х}$
${ Displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ { альфа +1/2}}$	${ Displaystyle (1-х) ^ { альфа +1} (1 + х) ^ { бета +1}}$
Константа в разн. уравнение, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ Displaystyle п (п + 2 альфа)}$	${ Displaystyle п (п + 1 + альфа + бета)}$
Константа в формуле Родригеса, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва {(-2) ^ {п} , п! , Гамма (2 альфа) , Гамма (п ! + ! 1/2 ! + ! альфа) } { Gamma (п ! + ! 2 alpha) Gamma ( alpha ! + ! 1/2)}}}$	${ Displaystyle (-2) ^ {п} , п!}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва {2 (п + альфа)} {п + 1}}}$	${ displaystyle { frac {(2n + 1 + alpha + beta) (2n + 2 + alpha + beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + alpha + beta)}} }$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {({ alpha} ^ {2} - { beta} ^ {2}) (2n + 1 + alpha + beta)} {2 (n + 1) (2n + alpha + beta) (n + 1 + alpha + beta)}}}$
Отношение рекуррентности, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle { frac {n + 2 { alpha} -1} {n + 1}}}$	${ Displaystyle { гидроразрыва {(п + альфа) (п + бета) (2n + 2 + альфа + бета)} {(п + 1) (п + 1 + альфа + бета) (2n + альфа + beta)}}}$