Категориальная квантовая механика - Categorical quantum mechanics

Категориальная квантовая механика это изучение квантовые основы и квантовая информация используя парадигмы из математика и Информатика, особенно моноидальная теория категорий. Первобытные объекты исследования - физические. процессы, и различные способы их составления. Он был впервые предложен в 2004 году Самсон Абрамский и Боб Кук.

Математическая установка

Математически базовая установка фиксируется кинжал симметричная моноидальная категория: Состав морфизмы моделирует последовательный состав процессов, а тензорное произведение описывает параллельную композицию процессов. Роль кинжала - назначить каждому состоянию соответствующий тест. Затем их можно украсить дополнительной структурой для изучения различных аспектов. Например:

Существенная часть математической основы этого подхода взята из Австралийская теория категорий, особенно от работы Макс Келли и М. Л. Лаплаза,[6] Андре Джоял и Росс-стрит,[7] А. Карбони и Р. Ф. К. Уолтерс,[8] и Стив Лэк.[9]Современные учебники включают [10] и.[11]

Схематическое исчисление

Одна из наиболее примечательных особенностей категориальной квантовой механики состоит в том, что композиционная структура может быть точно зафиксирована чисто схематическим расчетом.[12]

Иллюстрация схематического исчисления: квантовая телепортация протокол в модели категориальной квантовой механики.

Эти схематические языки можно проследить до Графическое обозначение Пенроуза, разработанная в начале 1970-х гг.[13] Схематические рассуждения использовались ранее в квантовая информатика в квантовая схема модель, однако, в категориальной квантовой механике примитивные ворота, такие как CNOT-ворота возникают как составные части более основных алгебр, в результате чего исчисление становится гораздо более компактным.[14] В частности, ZX-исчисление возникла из категориальной квантовой механики как схематический аналог общепринятым линейно-алгебраическим рассуждениям о квантовые ворота. ZX-исчисление состоит из набора генераторов, представляющих общие Квантовые ворота Паули и Ворота Адамара оснащен набором графических переписать правила регулирующие их взаимодействие. Хотя стандартный набор правил перезаписи еще не установлен, некоторые версии доказали свою пригодность. полный, что означает, что любое уравнение, которое выполняется между двумя квантовыми схемами, представленными в виде диаграмм, может быть доказано с помощью правил перезаписи.[15] ZX-исчисление использовалось, например, для изучения квантовые вычисления на основе измерений.

Отрасли деятельности

Аксиоматизация и новые модели

Один из главных успехов программы исследований категориальной квантовой механики заключается в том, что из, казалось бы, слабых абстрактных ограничений на композиционную структуру оказалось возможным вывести многие квантово-механические явления. В отличие от более ранних аксиоматических подходов, направленных на реконструкцию Гильбертово пространство квантовая теория, основанная на разумных предположениях, такое отношение отсутствия стремления к полной аксиоматизации может привести к новым интересным моделям, описывающим квантовые явления, которые могут быть полезны при разработке будущих теорий.[16]

Полнота и представление результатов

Существует несколько теорем, связывающих абстрактные условия категориальной квантовой механики с традиционными условиями квантовой механики.

  • Полнота диаграммного исчисления: равенство морфизмов может быть доказано в категории конечномерных гильбертовых пространств тогда и только тогда, когда оно может быть доказано на графическом языке кинжал компактных замкнутых категорий.[17]
  • Кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса в категории конечномерных гильбертовых пространств соответствуют ортогональные базисы.[18] Версия этого соответствия имеет место и в произвольной размерности.[19]
  • Некоторые дополнительные аксиомы гарантируют, что скаляры встраиваются в поле сложные числа, а именно существование конечных двойных произведений кинжала и эквалайзеров кинжала, точная направленность и ограничение мощности на скаляры.[20]
  • Некоторые дополнительные аксиомы в дополнение к предыдущей гарантируют, что кинжал-симметричная моноидальная категория вкладывается в категорию гильбертовых пространств, а именно, если каждый кинжал-моник является ядром кинжала. В этом случае скаляры образуют инволютивное поле, а не просто встраиваются в него. Если категория компактна, вложение попадает в конечномерные гильбертовы пространства.[21]
  • Специальные кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса в категория множеств и отношений соответствуют дискретным абелевым группоиды.[22]
  • Нахождение дополнительных базисных структур в категории множеств и отношений соответствует решению комбинаторных задач, включающих Латинские квадраты.[23]
  • Кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса на кубитах должны быть либо специальными, либо антиспециальными, в связи с тем, что максимально запутанный трехсторонние государства SLOCC -эквивалентен либо GHZ или Состояние W.[24]

Категориальная квантовая механика как логика

Категориальную квантовую механику также можно рассматривать как теоретический тип форма квантовая логика что, в отличие от традиционных квантовая логика, поддерживает формальные дедуктивные рассуждения.[25] Существует программного обеспечения что поддерживает и автоматизирует это рассуждение.

Существует еще одна связь между категориальной квантовой механикой и квантовой логикой, поскольку подобъекты в категориях ядра кинжала и категории двойных продуктов, дополненных кинжалом, образуют ортомодульные решетки.[26][27] Фактически, первая настройка позволяет логические кванторы, существование которой никогда не рассматривалось в традиционной квантовой логике.

Категориальная квантовая механика как основа квантовой механики

Категориальная квантовая механика позволяет описывать более общие теории, чем квантовая теория. Это позволяет изучать, какие особенности выделяют квантовую теорию в отличие от других нефизических теорий, что, надеюсь, дает некоторое понимание природы квантовой теории. Например, фреймворк позволяет кратко описать композицию Теория игрушек Спеккенса это позволяет точно определить, какой структурный ингредиент заставляет его отличаться от квантовой теории.[28]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Самсон Абрамский и Боб Кук, Категориальная семантика квантовых протоколов, Труды 19-й конференции IEEE по логике в компьютерных науках (LiCS'04). Издательство IEEE Computer Science Press (2004 г.).
  2. ^ П. Селинджер, Кинжал компактные замкнутые категории и полностью положительные отображения, Труды 3-го Международного семинара по языкам квантового программирования, Чикаго, 30 июня - 1 июля (2005 г.).
  3. ^ Б. Коке и Д. Павлович, Квантовые измерения без сумм. В: Математика квантовых вычислений и технологий, страницы 567–604, Тейлор и Фрэнсис (2007).
  4. ^ Б. Коке и С. Пердрикс, Среда и классические каналы в категориальной квантовой механике В: Материалы 19-й Ежегодной конференции EACSL по компьютерной логике (CSL), Конспект лекций по информатике 6247, Springer-Verlag.
  5. ^ Б. Кук и Р. Дункан, Взаимодействующие квантовые наблюдаемые В: Материалы 35-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP), стр. 298–310, конспект лекций по информатике 5126, Springer.
  6. ^ Г. Келли и М. Лаплаза, Когерентность для компактных замкнутых категорий, Журнал чистой и прикладной алгебры 19, 193–213 (1980).
  7. ^ А. Джойал, Р. Стрит, Геометрия тензорного исчисления I, Успехи в математике 88, 55–112 (1991).
  8. ^ А. Карбони и Р. Ф. К. Уолтерс, Декартовы бикатегории I, Журнал чистой и прикладной алгебры 49, 11–32 (1987).
  9. ^ С. Лак, Составление PROP, теория и приложения категорий 13, 147–163 (2004).
  10. ^ К. Хойнен и Дж. Викари, Категории квантовой теории, Издательство Оксфордского университета (2019)
  11. ^ Б. Коке и А. Киссинджер, Изображение квантовых процессов, Издательство Кембриджского университета (2017)
  12. ^ Б. Коке, Квантовая живописность // Современная физика 2010. Т. 51, С. 59–83.
  13. ^ Р. Пенроуз, Приложения тензоров отрицательной размерности, В: Комбинаторная математика и ее приложения, Д. ~ Уэлш (Эд), страницы 221–244. Академическая пресса (1971).
  14. ^ Бакенс, Мириам (2014). «ZX-исчисление завершено для квантовой механики стабилизаторов». Новый журнал физики. 16 (9): 093021. arXiv:1307.7025. Bibcode:2014NJPh ... 16i3021B. Дои:10.1088/1367-2630/16/9/093021. ISSN  1367-2630.
  15. ^ Джендель, Эммануэль; Пердрикс, Саймон; Вильмарт, Рено (31 мая 2017 г.). «Полная аксиоматизация ZX-исчисления для квантовой механики Clifford + T». arXiv:1705.11151 [Quant-ph ].
  16. ^ Дж. К. Баэз, Квантовые затруднения: теоретико-категориальная перспектива. В: Структурные основы квантовой гравитации, Д. Риклз, С. Френч и Дж. Т. Саатси (редакторы), страницы 240–266. Издательство Оксфордского университета (2004).
  17. ^ П. Селинджер, Конечномерные гильбертовы пространства полны для кинжальных компактных замкнутых категорий. Электронные заметки по теоретической информатике, которые должны появиться (2010 г.).
  18. ^ Б. Коке, Д. Павлович и Дж. Викари, Новое описание ортогональных базисов. Математические структуры в информатике, открытие (2008 г.).
  19. ^ С. Абрамский, К. Хойнен H * -алгебры и неединичные алгебры Фробениуса: первые шаги в бесконечномерной категориальной квантовой механике, Clifford Lectures, AMS Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, которое должно появиться (2010 г.).
  20. ^ Дж. Викари, Полнота кинжалов-разрядов и комплексных чисел, Journal of Mathematical Physics, который должен появиться (2008 г.).
  21. ^ К. Хойнен, Теорема вложения для категорий Гильберта. Теория и приложения категорий 22, 321–344. (2008)
  22. ^ Д. Павлович, Квантовые и классические структуры в недетерминированных вычислениях, Конспект лекций по информатике 5494, стр. 143–157, Springer (2009).
  23. ^ Дж. Эванс, Р. Дункан, А. Ланг и П. Панангаден, Классификация всех взаимно несмещенных баз в Rel (2009).
  24. ^ Б. Кук, А. Киссинджер Композиционная структура многочастной квантовой запутанности, Труды 37-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP), страницы 297–308, конспекты лекций по информатике 6199, Springer (2010).
  25. ^ Р. Дункан (2006) Типы квантовых вычислений, DPhil. Тезис. Оксфордский университет.
  26. ^ К. Хойнен и Б. Джейкобс, Квантовая логика в категориях ядра кинжала. Заказ 27, 177–212 (2009).
  27. ^ Дж. Хардинг, Связь между квантовой логикой и категориальной квантовой механикой, Международный журнал теоретической физики 48, 769–802 (2009).
  28. ^ Б. Коке, Б. Эдвардс и Р. В. Спеккенс, Фазовые группы и происхождение нелокальности кубитов, Электронные заметки по теоретической информатике, которые должны появиться (2010 г.).