Исчисление функторов - Calculus of functors

В алгебраическая топология, филиал математика, то исчисление функторов или же Расчет Гудвилли это методика изучения функторы аппроксимируя их последовательностью более простых функторов; это обобщает связка из предпучка. Эта последовательность приближений формально аналогична Серия Тейлор из гладкая функция, отсюда и термин "исчисление функторов ".

Многие объекты, представляющие центральный интерес в алгебраической топологии, можно рассматривать как функторы, которые трудно анализировать напрямую, поэтому идея состоит в том, чтобы заменить их более простыми функторами, которые являются достаточно хорошими приближениями для определенных целей. Исчисление функторов было разработано Томас Гудвилли в серии из трех статей 1990-х и 2000-х годов,^[1]^[2]^[3] и с тех пор был расширен и применен во многих областях.

Примеры

Мотивационный пример, представляющий центральный интерес в геометрическая топология, является функтором вложения одного многообразие M в другой коллектор N, первая производная которого в смысле исчисления функторов является функтором погружения. Поскольку каждое вложение является погружением, мы получаем включение функторов ${displaystyle mathrm {Emb} (M, N) o mathrm {Imm} (M, N)}$ - в этом случае отображение функтора в аппроксимацию является включением, но в целом это просто отображение.

Как показывает этот пример, линейной аппроксимацией функтора (в топологическом пространстве) является его связка, думая о функторе как о предпучка на пространстве (формально как функтор на категории открытых подмножеств пространства), а пучки - это линейные функторы.

Этот пример изучили Гудвилли и Майкл Вайс.^[4]^[5]

Определение

Вот аналогия: с помощью метода рядов Тейлора из исчисления вы можете аппроксимировать форму гладкая функция ж вокруг точки Икс с помощью последовательности полиномиальных функций с возрастающей точностью. Аналогичным образом с помощью метода исчисления функторов вы можете аппроксимировать поведение определенного вида функтор F на конкретном объекте Икс используя последовательность полиномов с возрастающей точностью функторы.

Чтобы быть конкретным, пусть M быть гладкое многообразие и разреши О (М) - категория открытых подпространств в M, т.е. категорию, в которой объекты являются открытыми подпространствами M, а морфизмы карты включения. Позволять F быть контравариантный функтор из категории О (М) в категорию Вершина топологических пространств с непрерывными морфизмами. Такого рода функтор, называемый Вершина-значен предпучка на M, - это тип функтора, который вы можете аппроксимировать с помощью метода исчисления функторов: для конкретного открытого множества X∈O (М), вы можете захотеть узнать, что за топологическое пространство F (X) есть, так что вы можете изучить топологию все более точных приближений F₀(X), F₁(X), F₂(ИКС), и так далее.

В методе исчисления функторов последовательность приближений состоит из (1) функторов ${displaystyle T_ {0} F, T_ {1} F, T_ {2} F}$ и так далее, а также (2) естественные преобразования ${displaystyle eta _ {k} двоеточие F o T_ {k} F}$ для каждого целого числа k. Эти естественные преобразования должны быть совместимыми, а это означает, что композиция ${displaystyle F o T_ {k + 1} F o T_ {k} F}$ равно карте ${displaystyle F o T_ {k} F,}$ и таким образом сформировать башню

{displaystyle F o cdots o T_ {k + 1} F o T_ {k} F o cdots o T_ {1} F o T_ {0} F,}

и его можно рассматривать как «последовательные приближения», так же как в ряду Тейлора можно постепенно отбрасывать члены более высокого порядка.

Аппроксимирующие функторы должны быть "k-эксцизионный "- такие функторы называются полиномиальные функторы по аналогии с Полиномы Тейлора - что является упрощенным условием и примерно означает, что они определяются своим поведением вокруг k точки за раз, или более формально снопы на конфигурационное пространство из k точки в заданном пространстве. Разница между kй и ${displaystyle (k-1)}$ st функторы - это "однородный функтор степени k"(по аналогии с однородные многочлены ), которые можно классифицировать.

Для функторов ${displaystyle T_ {k} F}$ быть приближениями к исходному функтору F, полученные аппроксимационные карты ${displaystyle F o T_ {k} F}$ должно быть п-связаны для некоторого числа п, означает, что аппроксимирующий функтор приближает исходный функтор "в размерности до п"; этого может не произойти. Кроме того, если кто-то хочет восстановить исходный функтор, полученные приближения должны быть п-подключен для п возрастает до бесконечности. Затем один звонит F ан аналитический функтор, и говорит, что «башня Тейлора сходится к функтору», по аналогии с рядом Тейлора аналитической функции.

ветви

Существует три раздела исчисления функторов, которые развиваются в следующем порядке:

исчисление многообразий, например вложения,
гомотопическое исчисление и
ортогональное исчисление.

Гомотопическое исчисление нашло гораздо более широкое применение, чем другие отрасли.^{[нужна цитата ]}

История

Понятия связки и связки предпучка восходят к ранней теории категорий и могут рассматриваться как линейная форма исчисления функторов. Квадратичную форму можно увидеть в работе Андре Хефлигер на ссылки сфер в 1965 г., где он определил «метастабильный диапазон», в котором задача проще.^[6] Это было идентифицировано как квадратичное приближение к функтору вложений в Гудвилли и Вайссе.

внешняя ссылка

[1] Т. Гудвилли, Исчисление I: первая производная теории псевдоизотопии, K-теория 4 (1990), 1-27.

[2] Т. Гудвилли, Исчисление II: Аналитические функторы, K-теория 5 (1992), 295–332.

[3] Т. Гудвилли, Calculus III: ряд Тейлора, Geom. Тополь. 7 (2003), 645-711.

[4] М. Вайс, Вложения с точки зрения теории погружения, Часть I, Геометрия и топология 3 (1999), 67-101.

[5] Т. Гудвилли, М. Вайс, Вложения с точки зрения теории погружения, Часть II, Геометрия и топология 3 (1999), 103-118.

[6] Хефлигер, Андре, Enlacements de sphères en codimension supérieure à 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]