Связка гербе - Bundle gerbe

В математика, а связка гербе это геометрический модель определенного 1-герберы с связь, или эквивалент 2-го класса в Когомологии Делиня.

Топология

${ Displaystyle U (1)}$ -основные связки над пространством ${ displaystyle M}$ (видеть связка кругов ) являются геометрическими реализациями 1-классов в когомологиях Делиня, состоящих из 1-форм соединения) и 2-образные кривизны. Топология ${ Displaystyle U (1)}$ пачка классифицируется по Черн класс, который является элементом ${ Displaystyle Н ^ {2} (М, mathbb {Z})}$ , вторые интегральные когомологии ${ displaystyle M}$ .

Герберы, или, точнее, 1-гербы, являются абстрактными описаниями 2-классов Делиня, каждый из которых определяет элемент ${ Displaystyle Н ^ {3} (М, mathbb {Z})}$ , третьи интегральные когомологии M.

Как класс когомологий в когомологиях Делиня

Напомним для гладкого многообразия ${ displaystyle M}$ p-ые группы когомологий Делиня определяются гиперкогомология комплекса

${ displaystyle mathbb {Z} (q) _ {D} ^ { infty} = { underline { mathbb {Z}}} (q) to { mathcal {A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {0} xrightarrow {d} { mathcal {A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {1} xrightarrow {d} cdots xrightarrow {d} { mathcal { A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {q-1}}$

называется вес q Комплекс Делиня, куда ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {k}}$ пучок ростков гладких дифференциальных k-форм, тензоровых ${ Displaystyle mathbb {C}}$ . Итак, пишем

${ displaystyle mathbb {H} _ {D} ^ {*} (M, mathbb {Z} (q) _ {D} ^ { infty})}$

для групп когомологий Делиня веса ${ displaystyle q}$ . В случае ${ displaystyle q = 3}$ комплекс Делиня тогда

${ displaystyle { underline { mathbb {Z}}} (3) to { mathcal {A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {0} xrightarrow {d} { mathcal {A }} _ {M, mathbb {C}} ^ {1} xrightarrow {d} { mathcal {A}} _ {M, mathbb {C}} ^ {2}}$

Мы можем понять группы когомологий Делиня, посмотрев на разрешение Чеха, дающее двойной комплекс. Также имеется связанная короткая точная последовательность^[1] ^стр.7

${ displaystyle 0 to { frac {{ mathcal {A}} _ { mathbb {C}, M} ^ {2} (M) _ {cl}} {{ mathcal {A}} _ { mathbb {C}, M} ^ {2} (M) _ {cl, 0}}} to mathbb {H} ^ {3} (M, mathbb {Z} (3) _ {D} ^ { infty}) to H ^ {3} (M, mathbb {Z}) to 0}$

куда ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { mathbb {C}, M} ^ {2} (M) _ {cl}}$ - замкнутые ростки комплекснозначных 2-форм на ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { mathbb {C}, M} ^ {2} (M) _ {cl, 0}}$ - подпространство таких форм, в которых интегралы по периодам являются целыми. Это можно использовать, чтобы показать ${ Displaystyle Н ^ {3} (М, mathbb {Z})}$ классы изоморфизма ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ расслоения-герберы на гладком многообразии ${ displaystyle M}$ , или, что то же самое, классы изоморфизма ${ Displaystyle B mathbb {C} ^ {*}}$ -бандлы на ${ displaystyle M}$ .

История

Исторически самой популярной конструкцией гербера является теоретико-категориальный модель, представленная в теории гербов Жиро, которые примерно снопы из группоиды над M.

В 1994 году Мюррей представил расслоения гербов, которые представляют собой геометрические реализации 1-гербов. Для многих целей они более подходят для вычислений, чем реализация Жиро, поскольку их построение полностью находится в рамках классической геометрии. На самом деле, как следует из названия, они пучки волокон. В следующем году это понятие было распространено на высшие зародыши.^[2]

Отношения со скрученными K-теория

В Скрученная K-теория и K-теория расслоения гербов ^[3] авторы определили модули расслоения гербов и использовали это для определения K-теория для пучков зародышей. Затем они показали, что эта K-теория изоморфна теории Розенберга. скрученная K-теория, и обеспечивает анализ -свободное строительство.

Кроме того, они определили понятие скрученный персонаж Черна который является характеристический класс для элемента скрученной K-теории. Скрученный персонаж Черна - это дифференциальная форма который представляет класс в скрученные когомологии с уважением к нильпотентный оператор

{ displaystyle d + H}

куда ${ displaystyle d}$ это обычный внешняя производная и крутить ${ displaystyle H}$ это замкнутая 3-форма. Эта конструкция была распространена на эквивариантная K-теория и чтобы голоморфная K-теория от Матая и Стивенсона.^[4]

Связь с теорией поля

Пучковые герберы также появились в контексте конформные теории поля. Gawedzki и Рейс интерпретировали термин Весса – Зумино в Модель Весса – Зумино – Виттена. (WZW) из нить распространение на групповое многообразие как связь пучка гербер. Урс Шрайбер, Кристоф Швайгерт и Конрад Вальдорф использовали эту конструкцию для расширения моделей WZW на неориентированные поверхности и, в более общем смысле, на глобальные Муфта Калба – Рамона к неориентированным струнам.

Более подробную информацию можно найти на Кафе n-категории:

Смотрите также

Примечания

^ Гайер, Павел (1996-01-26). «Геометрия когомологий Делиня». Дои:10.1007 / s002220050118. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ в Высшие расслоения Gerbes и классы когомологий в калибровочных теориях к Алан Кэри, Майкл Мюррей и Бай-Лин Ван
^ к Питер Баукнегт, Алан Кэри, Варгезе Матхай, Майкл Мюррей и Дэнни Стивенсон
^ в Характер Черна в скрученной K-теории: эквивариантный и голоморфный случаи