Гипотеза Богомолова - Bogomolov conjecture

В математика, то Гипотеза Богомолова это гипотеза, названная в честь Федор Богомолов, в арифметическая геометрия о алгебраические кривые это обобщает Гипотеза Манина-Мамфорда в арифметическая геометрия. Гипотеза была доказана Эммануэль Ульмо и Шоу-Ву Чжан в 1998 году. Дальнейшее обобщение общего абелевы разновидности было также доказано Чжаном в 1998 году.

Заявление

Позволять C быть алгебраическая кривая из род грамм не менее двух, определенных над числовое поле K, позволять ${ displaystyle { overline {K}}}$ обозначить алгебраическое замыкание из Kисправим вложение C в его Якобиева многообразие J, и разреши ${ displaystyle { hat {h}}}$ обозначить Высота Нерона-Тейта на J связан с обильный симметричный дивизор. Тогда существует ${ displaystyle epsilon> 0}$ такой, что набор

{ displaystyle {P in C ({ overline {K}}): { hat {h}} (P) < epsilon }}

конечно.

С ${ displaystyle { hat {h}} (P) = 0}$ если и только если п это точка кручения, гипотеза Богомолова обобщает Гипотеза Манина-Мамфорда.

Доказательство

Первоначальная гипотеза Богомолова была доказана Эммануэлем Ульмо и Шоу-Ву Чжаном в 1998 году.^[1]

Обобщение

В 1998 году Чжан^[2] доказал следующее обобщение:

Позволять А быть абелева разновидность определяется по K, и разреши ${ displaystyle { hat {h}}}$ быть высотой Нерона-Тейта на А ассоциированный с обильным симметричным дивизором. А подмножество ${ Displaystyle X подмножество A}$ называется торсионное подмногообразие если это перевод абелевого подмногообразия А точкой кручения. Если Икс не является торсионным подмногообразием, то существует ${ displaystyle epsilon> 0}$ такой, что набор