Неравенство Бернулли - Bernoullis inequality - Wikipedia

Иллюстрация неравенства Бернулли с графики из и показаны красным и синим цветом соответственно. Здесь,

В математика, Неравенство Бернулли (названный в честь Джейкоб Бернулли ) является неравенство это приблизительно возведения в степень из 1 +Икс. Часто используется в реальный анализ.

Неравенство гласит, что

для каждого целое число р ≥ 0 и каждый настоящий номер Икс ≥ −1.[1]Если показатель степени р является четное, то неравенство справедливо при все действительные числаИкс. Строгий вариант неравенства гласит

для каждого целого числа р ≥ 2 и каждое действительное число Икс ≥ −1 с Икс ≠ 0.

Существует также обобщенная версия, в которой для каждого действительного числа р ≥ 1 и действительное число Икс ≥ −1,

а для 0 ≤р ≤ 1 и действительное число Икс ≥ −1,

Неравенство Бернулли часто используется как решающий шаг в доказательство других неравенств. Само это можно доказать, используя математическая индукция, как показано ниже.

История

Якоб Бернулли впервые опубликовал неравенство в своем трактате «Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis» (Базель, 1689 г.), где он часто использовал неравенство.[2]

Согласно Джозефу Э. Хофманну, Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci (1963), стр. 177, неравенство на самом деле связано с Слезом в его «Mesolabum» (издание 1668 г.), глава IV «De maximis & minimis».[2]

Доказательство неравенства

Приступим к математической индукции в следующем виде:

  • докажем неравенство для ,
  • от действительности для некоторых р мы делаем вывод о действительности для р + 2.

За р = 0,

эквивалентно 1 ≥ 1, что верно.

Аналогично для р = 1 имеем

Теперь предположим, что утверждение верно для р = k:

Тогда следует, что

поскольку а также . По модифицированной индукции заключаем, что утверждение верно для любого целого неотрицательного числа р.

Обобщения

Обобщение экспоненты

Показатель р можно обобщить на произвольное действительное число следующим образом: если Икс > −1, то

за р ≤ 0 или р ≥ 1, и

для 0 ≤р ≤ 1.

Это обобщение можно доказать, сравнивая производные И снова строгие версии этих неравенств требуют Икс ≠ 0 ир ≠ 0, 1.

Обобщение базы

Вместо неравенство выполняется также в виде куда - действительные числа, все больше -1, все с одним знаком. Неравенство Бернулли является частным случаем, когда . Это обобщенное неравенство можно доказать с помощью математической индукции.

Доказательство

На первом этапе мы делаем . В этом случае неравенство очевидно верно.

На втором шаге предполагаем выполнение неравенства для числа и вывести срок действия числа.

Мы предполагаем, что

действует. После умножения обеих сторон на положительное число мы получили:

В качестве все имеют знак равенства, товары все положительные числа. Таким образом, количество в правой части может быть ограничено следующим образом:

что должно было быть показано.

Связанные неравенства

Следующее неравенство оценивает р-я степень 1 +Икс с другой стороны. Для любых реальных чисел Икср с р > 0, есть

куда е = 2.718.... Это можно доказать, используя неравенство (1 + 1 /k)k < е.

Альтернативная форма

Альтернативная форма неравенства Бернулли для и является:

Это можно доказать (для любого целого т) по формуле для геометрическая серия: (с помощью у = 1 − Икс)

или эквивалентно

Альтернативное доказательство

Использование AM-GM

Элементарное доказательство и Икс ≥ -1 можно задать с помощью взвешенный AM-GM.

Позволять быть двумя неотрицательными действительными константами. По взвешенному AM-GM на с весами соответственно получаем

Обратите внимание, что

и

поэтому наше неравенство эквивалентно

После замены (имея в виду, что это подразумевает ) наше неравенство превращается в

что является неравенством Бернулли.

Используя формулу для геометрического ряда

Неравенство Бернулли

 

 

 

 

(1)

эквивалентно

 

 

 

 

(2)

и по формуле для геометрическая серия (с помощью у = 1 + Икс) мы получили

 

 

 

 

(3)

что приводит к

 

 

 

 

(4)

Сейчас если то по монотонности степеней каждое слагаемое , а значит, их сумма больше и, следовательно, продукт на LHS из (4).

Если затем по тем же аргументам и, таким образом, все добавляет неположительны, а значит, и их сумма. Поскольку произведение двух неположительных чисел неотрицательно, мы снова получаем (4).

Используя биномиальную теорему

Можно доказать неравенство Бернулли для Икс ≥ 0 с помощью биномиальная теорема. Это тривиально верно для р = 0, поэтому предположим р положительное целое число. потом Четко и поэтому как требуется.

Примечания

  1. ^ Браннан, Д. А. (2006). Первый курс математического анализа. Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN  9781139458955.
  2. ^ а б математика - Первое использование неравенства Бернулли и его названия - История науки и математики Stack Exchange

Рекомендации

внешняя ссылка