Когомологии Андре – Квиллена - André–Quillen cohomology

В коммутативная алгебра, Когомологии Андре – Квиллена это теория когомология за коммутативные кольца который тесно связан с котангенс комплекс. Первые три группы когомологий были введены Лихтенбаум и Шлессингер (1967) и иногда их называют Функторы Лихтенбаума – Шлезингера Т⁰, Т¹, Т², а высшие группы были определены независимо Мишель Андре и по Дэниел Квиллен используя методы теория гомотопии. Он приходит с параллельной теорией гомологии, называемой Гомологии Андре – Квиллена.

Мотивация

Позволять А коммутативное кольцо, B быть А-алгебра и M быть B-модуль. Группы когомологий Андре – Квиллена являются производными функторами происхождение функтор Der_А(B, M). До общих определений Андре и Квиллена долгое время было известно, что данные морфизмы коммутативных колец А → B → C и C-модуль M, есть трехчленный точная последовательность деривационных модулей:

{ displaystyle 0 to operatorname {Der} _ {B} (C, M) to operatorname {Der} _ {A} (C, M) to operatorname {Der} _ {A} (B, M).}

Этот член может быть расширен до шестичленной точной последовательности с помощью функтора Exalcomm расширений коммутативных алгебр и девятичленной точной последовательности с использованием функторов Лихтенбаума – Шлезингера. Когомологии Андре – Квиллена расширяют эту точную последовательность еще дальше. В нулевой степени это модуль выводов; в первой степени это Exalcomm; во второй степени это функтор Лихтенбаума – Шлезингера второй степени.

Определение

Позволять B быть А-алгебра, и пусть M быть B-модуль. Позволять п быть симплициальным кофибрантом А-алгебра разрешение B. Андре отмечает q-я группа когомологий B над А с коэффициентами в M к ЧАС^q(А, B, M), а Куиллен отмечает ту же группу, что и D^q(B/А, M). В qth Группа когомологий Андре – Квиллена является:

{ displaystyle D ^ {q} (B / A, M) = H ^ {q} (A, B, M) { stackrel { text {def}} {=}} H ^ {q} ( operatorname {Der} _ {A} (P, M)).}

Позволять L_B/А обозначают относительный котангенс комплекс из B над А. Тогда у нас есть формулы:

{ displaystyle D ^ {q} (B / A, M) = H ^ {q} ( operatorname {Hom} _ {B} (L_ {B / A}, M)),}

{ displaystyle D_ {q} (B / A, M) = H_ {q} (L_ {B / A} otimes _ {B} M).}

Когомологии Андре – Квиллена - André–Quillen cohomology

Мотивация

Определение

Рекомендации