Альтернативный факториал - Alternating factorial
В математика, переменный факториал это абсолютная величина из переменная сумма из первых п факториалы из положительные целые числа.
Это то же самое, что и их сумма, с нечетно проиндексированными факториалами, умноженными на −1 если п четно, а факториалы с четными индексами, умноженные на −1, если п является нечетным, что приводит к чередованию знаков слагаемых (или чередованию операторов сложения и вычитания, если желательно). Выражаясь алгебраически,
или с отношение повторения
в котором af (1) = 1.
Первые несколько переменных факториалов:
- 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (последовательность A005165 в OEIS )
Например, третий переменный факториал равен 1! - 2! + 3 !. Четвертый переменный факториал равен −1! + 2! - 3! + 4! = 19. Независимо от четности п, последний (пй) слагаемое, п!, дается положительный знак, (п - 1) -му слагаемому ставится знак минус, и знаки слагаемых с нижним индексом меняются соответственно.
Этот шаблон чередования гарантирует, что все полученные суммы будут положительными целыми числами. Изменение правила так, чтобы слагаемые с нечетным или четным индексом получали отрицательные знаки (независимо от четности п) меняет знаки полученных сумм, но не их абсолютные значения.
Миодраг Живкович доказал в 1999 году, что существует лишь конечное число переменных факториалов, которые также являются простые числа, так как 3612703 разделяет af (3612702) и, следовательно, делит af (п) для всех п ≥ 3612702. По состоянию на 2006 г.[Обновить], известные простые числа и вероятные простые числа афф (п) для (последовательность A001272 в OEIS )
- п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164
Только значения до п = 661 оказались простыми в 2006 г. af (661) приблизительно равен 7,818097272875 × 101578.
