Абстрактный элементарный класс - Abstract elementary class

В теория моделей, дисциплина внутри математическая логика, абстрактный элементарный класс, или же AEC для краткости, это класс моделей с частичным порядком, подобный отношению элементарная подструктура из начальный класс в первый заказ теория моделей. Их представил Сахарон Шелах.^[1]

Определение

${ Displaystyle langle K, Prec _ {K} rangle}$ , за ${ displaystyle K}$ класс структур на каком-то языке ${ Displaystyle L = L (К)}$ , является AEC, если он имеет следующие свойства:

${ displaystyle prec _ {K}}$ это частичный заказ на ${ displaystyle K}$ .
Если ${ Displaystyle M Prec _ {K} N}$ тогда ${ displaystyle M}$ является подструктурой ${ displaystyle N}$ .
Изоморфизмы: ${ displaystyle K}$ закрыт под изоморфизмы, и если ${ displaystyle M, N, M ', N' in K,}$ ${ displaystyle f двоеточие M simeq M ',}$ ${ Displaystyle г двоеточие N simeq N ',}$ ${ displaystyle f substeq g,}$ и ${ Displaystyle M Prec _ {K} N,}$ тогда ${ displaystyle M ' prec _ {K} N'.}$
Согласованность: Если ${ Displaystyle M_ {1} Prec _ {K} M_ {3},}$ ${ Displaystyle M_ {2} Prec _ {K} M_ {3},}$ и ${ Displaystyle M_ {1} substeq M_ {2},}$ тогда ${ displaystyle M_ {1} Prec _ {K} M_ {2}.}$
Тарский – Воот цепь аксиомы: Если ${ displaystyle gamma}$ $гамма$ является порядковый и ${ Displaystyle {, М _ { альфа} середина альфа < гамма , } substeq K}$ ${ Displaystyle {, М _ { альфа} середина альфа < гамма , } substeq K}$ представляет собой цепь (т.е. ${ displaystyle alpha < beta < gamma подразумевает M _ { alpha} Prec _ {K} M _ { beta}}$ ${ displaystyle alpha < beta < gamma подразумевает M _ { alpha} Prec _ {K} M _ { beta}}$ ), тогда:
- ${ displaystyle bigcup _ { alpha < gamma} M _ { alpha} in K}$
- Если ${ Displaystyle M _ { alpha} Prec _ {K} N}$ , для всех ${ Displaystyle альфа < гамма}$ , тогда ${ displaystyle bigcup _ { alpha < gamma} M _ { alpha} Prec _ {K} N}$
Левенхайм – Сколем аксиома: Существует кардинал ${ Displaystyle му geq | L (К) | + алеф _ {0}}$ , так что если ${ displaystyle A}$ является подмножеством вселенной ${ displaystyle M}$ , то есть ${ displaystyle N}$ в ${ displaystyle K}$ чья вселенная содержит ${ displaystyle A}$ такой, что ${ Displaystyle | N | Leq | A | + mu}$ и ${ Displaystyle N Prec _ {K} M}$ . Мы позволяем ${ displaystyle operatorname {LS} (K)}$ обозначим наименьшее из таких ${ displaystyle mu}$ и назовите это Число Левенхайма – Сколема из ${ displaystyle K}$ .

Обратите внимание, что мы обычно не заботимся о моделях размером меньше числа Левенхайма – Сколема и часто предполагаем, что их нет (мы примем это соглашение в этой статье). Это оправдано, поскольку мы всегда можем удалить все такие модели из AEC, не влияя на его структуру выше числа Левенгейма – Сколема.

А ${ displaystyle K}$ -встраивание - это карта ${ displaystyle f: M rightarrow N}$ за ${ displaystyle M, N in K}$ такой, что ${ displaystyle f [M] Prec _ {K} N}$ и ${ displaystyle f}$ является изоморфизмом из ${ displaystyle M}$ на ${ displaystyle f [M]}$ . Если ${ displaystyle K}$ ясно из контекста, мы его опускаем.

Примеры

Ниже приведены примеры абстрактных элементарных классов:^[2]

An Начальный класс это самый простой пример AEC: если Т теория первого порядка, то класс ${ displaystyle operatorname {Mod} (T)}$ моделей Т вместе с элементарная подструктура образует AEC с числом Левенхайма – Сколема | T |.
Если ${ displaystyle phi}$ это предложение в бесконечная логика ${ displaystyle L _ { omega _ {1}, omega}}$ , и ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ счетный фрагмент содержащий ${ displaystyle phi}$ , тогда ${ displaystyle langle operatorname {Mod} (T), prec _ { mathcal {F}} rangle}$ является АЭК с числом Левенхайма – Сколема ${ displaystyle aleph _ {0}}$ . Это можно обобщить на другие логики, например ${ displaystyle L _ { kappa, omega}}$ , или же ${ Displaystyle L _ { omega _ {1}, omega} (Q)}$ , куда ${ displaystyle Q}$ выражает «существует бесчисленное множество».
Если Т является счетным сверхстабильный теория, набор ${ displaystyle aleph _ {1}}$ -насыщенные модели Твместе с элементарной подструктурой является АЭК с числом Левенгейма – Сколема ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ .
Псевдоэкспоненциальные поля Зильбера сформировать AEC.

Общие предположения

AEC - это очень общие объекты, и при их изучении обычно делаются некоторые из следующих предположений:

AEC имеет совместное встраивание если любые две модели могут быть встроены в общую модель.
AEC имеет нет максимальной модели есть ли у какой-либо модели правильное расширение.
AEC ${ displaystyle K}$ имеет слияние если для любой тройки ${ displaystyle M_ {0}, M_ {1}, M_ {2} in K}$ с ${ Displaystyle M_ {0} Prec _ {K} M_ {1}}$ , ${ Displaystyle M_ {0} Prec _ {K} M_ {2}}$ , есть ${ displaystyle N in K}$ и вложения ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$ внутри ${ displaystyle N}$ это исправление ${ displaystyle M_ {0}}$ точечно.

Обратите внимание, что в элементарных классах совместное вложение выполняется всякий раз, когда теория полный, а объединение и отсутствие максимальных моделей - хорошо известные следствия теорема компактности. Эти три предположения позволяют нам построить универсальную модель-однородную модель монстра. ${ Displaystyle { mathfrak {C}}}$ , как и в простейшем случае.

Еще одно предположение, которое можно сделать, это покорность.

Гипотеза Шелаха о категоричности

Шелах представил AEC, чтобы обеспечить единообразную основу для обобщения первого порядка теория классификации. Теория классификации началась с Теорема Морли о категоричности, поэтому естественно спросить, верен ли аналогичный результат в AEC. Это Гипотеза окончательной категоричности Шелаха. В нем говорится, что для категоричности должно быть число Ханфа:

Для каждого AEC K должен быть кардинал ${ displaystyle mu}$ в зависимости только от ${ displaystyle operatorname {LS} (K)}$ так что если K категоричен в немного ${ displaystyle lambda geq mu}$ (т.е. K имеет ровно одну (с точностью до изоморфизма) модель размера ${ displaystyle lambda}$ ), тогда K категоричен в ${ displaystyle theta}$ за все ${ displaystyle theta geq mu}$ .

У Шелаха также есть несколько более сильных гипотез: Кардинальный порог категоричности - это число Ханфа псевдоэлементарных классов в языке мощности LS (K). В частности, когда класс написан на счетном языке и аксиомазифицируем ${ displaystyle L _ { omega _ {1}, omega}}$ предложение пороговое число для категоричности ${ displaystyle beth _ { omega _ {1}}}$ . Это предположение восходит к 1976 году.

Было опубликовано несколько приближений (см., Например, раздел результатов ниже), предполагая, что теоретико-множественный предположения (например, существование большие кардиналы или вариации гипотеза обобщенного континуума ) или теоретико-модельные допущения (такие как слияние или приручение). По состоянию на 2014 год первоначальная гипотеза остается открытой.

Полученные результаты

Ниже приведены некоторые важные результаты об AEC. За исключением последнего, все результаты принадлежат Шелаху.

Теорема Шелаха о представлении:^[3] Любой AEC ${ displaystyle K}$ является ${ displaystyle operatorname {ПК} _ {2 ^ { operatorname {LS} (K)}}}$ : это редукция класса моделей теории первого порядка, в которой не более ${ displaystyle 2 ^ { operatorname {LS} (K)}}$ типы.
Номер Hanf для существования:^[4] Любой AEC ${ displaystyle K}$ у которого есть модель размера ${ Displaystyle Бет _ {(2 ^ { OperatorName {LS} (K)}) ^ {+}}}$ есть модели сколь угодно больших размеров.
Слияние с категоричностью:^[5] Если K является категорией AEC в ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle lambda ^ {+}}$ и ${ displaystyle 2 ^ { lambda} <2 ^ { lambda ^ {+}}}$ , тогда K имеет слияние для моделей размера ${ displaystyle lambda}$ .
Существование из категоричности:^[6] Если K это ${ displaystyle operatorname {ПК} _ { aleph _ {0}}}$ AEC с номером Левенхайма – Сколема ${ displaystyle aleph _ {0}}$ и K категоричен в ${ displaystyle aleph _ {0}}$ и ${ displaystyle aleph _ {1}}$ , тогда K есть модель размера ${ displaystyle aleph _ {2}}$ . В частности, нет приговора ${ Displaystyle L _ { omega _ {1}, omega} (Q)}$ может иметь ровно одну бесчисленную модель.
Приближения к гипотезе категоричности Шелаха:
- Передача вниз от преемника:^[7] Если K это абстрактный элементарный класс с категоричным объединением в "достаточно высокий" преемник ${ displaystyle lambda}$ , тогда K категоричен во всем достаточно высоко ${ displaystyle mu leq lambda}$ .
- Гипотеза Шелаха о категоричности преемника из числа крупных кардиналов:^[8] Если есть много классов сильно компактные кардиналы, то гипотеза Шелаха о категоричности верна, когда мы начинаем с категоричности преемника.

Смотрите также

Приручить абстрактный элементарный класс

Примечания

^ Шела 1987.
^ Гроссберг 2002, Секция 1.
^ Гроссберг 2002, Теорема 3.4.
^ Гроссберг 2002, Следствие 3.5. Обратите внимание, что там есть опечатка и что ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ { operatorname {LS} (K)}}}$ следует заменить на ${ displaystyle 2 ^ { operatorname {LS} (K)}}$ .
^ Гроссберг 2002, Теорема 4.3.
^ Гроссберг 2002, Теорема 5.1.
^ Шелах 1999.
^ Это связано с Уиллом Бони, но объединяет результаты многих людей, включая Гроссберга, Маккаи, Шелаха и ВанДирена. Доказательство появляется в Бони 2014, Теорема 7.5.