Ω-логика - Ω-logic

В теория множеств, Ω-логика является бесконечная логика и дедуктивная система предложено В. Хью Вудин (1999 ) как часть попытки обобщить теорию определенность из pointclasses покрывать структура ${ displaystyle H _ { aleph _ {2}}}$ . Так же, как аксиома проективной детерминированности дает каноническую теорию ${ displaystyle H _ { aleph _ {1}}}$ , он стремился найти аксиомы, которые дали бы каноническую теорию для большей структуры. Разработанная им теория включает противоречивый аргумент о том, что гипотеза континуума ложно.

Анализ

Вудина Ω-гипотеза утверждает, что если существует надлежащий класс Кардиналы Вудена (по техническим причинам большинство результатов теории легче всего сформулировать при этом предположении), то Ω-логика удовлетворяет аналогу теорема полноты. Из этой гипотезы можно показать, что если существует какая-либо единственная аксиома, которая исчерпывающая ${ displaystyle H _ { aleph _ {2}}}$ (в Ω-логике) это должно означать, что континуум не ${ displaystyle aleph _ {1}}$ . Вудин также выделил особую аксиому, разновидность Максимум Мартина, который утверждает, что любая Ω-согласованная ${ displaystyle Pi _ {2}}$ (над ${ displaystyle H _ { aleph _ {2}}}$ ) предложение верно; из этой аксиомы следует, что континуум ${ displaystyle aleph _ {2}}$ .

Вудин также связал свою Ω-гипотезу с предложенным абстрактным определением больших кардиналов: он принял "большое кардинальное свойство" за ${ displaystyle Sigma _ {2}}$ свойство ${ Displaystyle Р ( альфа)}$ ординалов, откуда следует, что α является сильный недоступный, и который инвариантен относительно принуждения множеством кардинальных чисел меньше α. Тогда из Ω-гипотезы следует, что если существуют сколь угодно большие модели, содержащие большой кардинал, этот факт будет доказуем в Ω-логике.

Теория предполагает определение Ω-валидность: утверждение является Ω-допустимым следствием теории множеств Т если это выполняется в каждой модели Т имеющий форму ${ Displaystyle V _ { alpha} ^ { mathbb {B}}}$ для некоторых порядковых ${ displaystyle alpha}$ И какое-то принуждение ${ displaystyle mathbb {B}}$ . Это понятие явно сохраняется при принуждении, и при наличии соответствующего класса кардиналов Вудена оно также будет инвариантным при принуждении (другими словами, Ω-выполнимость сохраняется и при принуждении). Также есть понятие Ω-доказуемость;^[1] здесь «доказательства» состоят из универсальные наборы Бэра и проверяются путем проверки того, что для каждой счетной транзитивной модели теории и каждого вынуждающего понятия в модели общее расширение модели (вычисленное в V) содержит «доказательство», ограниченное собственными реалами. Для доказательства А проверяемое здесь условие называется "А-замкнутый ". Мера сложности может быть дана на доказательствах их рангами в Иерархия Wadge. Вудин показал, что из этого понятия «доказуемость» следует Ω-валидность для предложений, которые ${ displaystyle Pi _ {2}}$ над V. Ω-гипотеза утверждает, что верно и обратное к этому результату. Во всех известных на данный момент основные модели, как известно, правда; кроме того, сила согласованности больших кардиналов соответствует наименьшему рангу доказательства, необходимому для «доказательства» существования кардиналов.

Примечания

^ Бхатия, Раджендра, изд. (2010), Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 2010 г., 1, World Scientific, стр. 519

внешняя ссылка

В. Х. Вудин, Слайды на 3 доклада

[1] Бхатия, Раджендра, изд. (2010), Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 2010 г., 1, World Scientific, стр. 519

[1]

Ω-логика - Ω-logic

Содержание

Анализ

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка